Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77745 / 57073
↖ ↑ ↗
← N 22.631758°
E 33.533020°		 ← 281.85 m → N 22.631758°
E 33.535766°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 22.629223°
E 33.533020°		 ← 281.85 m →
79 458 m²		 N 22.629223°
E 33.535766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593151092529297 y=0.435436248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593151092529297 × 217)
    floor (0.593151092529297 × 131072)
    floor (77745.5)     		tx = 77745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435436248779297 × 217)
    floor (0.435436248779297 × 131072)
    floor (57073.5)     		ty = 57073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77745 / 57073 ti = "17/77745/57073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77745/57073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77745 ÷ 217
    77745 ÷ 131072     		x = 0.593147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57073 ÷ 217
    57073 ÷ 131072     		y = 0.435432434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593147277832031 × 2 - 1) × π
    0.186294555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58526161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435432434082031 × 2 - 1) × π
    0.129135131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.405689981484535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58526161} λ = 0.58526161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405689981484535))-π/2
    2×atan(1.50033734799343)-π/2
    2×0.982897506470597-π/2
    1.96579501294119-1.57079632675     		φ = 0.39499869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58526161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.533020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39499869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.631758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77745 KachelY 57073 0.58526161 0.39499869 33.533020 22.631758
    Oben rechts KachelX + 1 77746 KachelY 57073 0.58530954 0.39499869 33.535766 22.631758
    Unten links KachelX 77745 KachelY + 1 57074 0.58526161 0.39495444 33.533020 22.629223
    Unten rechts KachelX + 1 77746 KachelY + 1 57074 0.58530954 0.39495444 33.535766 22.629223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39499869-0.39495444) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39499869-0.39495444) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.39499869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922997068461053 × 6371000     		do = 281.848258509489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.39495444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923014095266255 × 6371000     		du = 281.85345784929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39499869)-sin(0.39495444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922997068461053-0.923014095266255)×R²
    abs(0.58530954-0.58526161)×1.70268052023248e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70268052023248e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70268052023248e-05×40589641000000     		ar = 79458.477935502m²