Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77744 / 59057
↖ ↑ ↗
← N 17.515725°
E 33.530273°		 ← 291.26 m → N 17.515725°
E 33.533020°		 →
↑
291.22 m
↓
↑
291.22 m
↓
N 17.513106°
E 33.530273°		 ← 291.27 m →
84 822 m²		 N 17.513106°
E 33.533020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593143463134766 y=0.450572967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593143463134766 × 217)
    floor (0.593143463134766 × 131072)
    floor (77744.5)     		tx = 77744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450572967529297 × 217)
    floor (0.450572967529297 × 131072)
    floor (59057.5)     		ty = 59057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77744 / 59057 ti = "17/77744/59057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77744/59057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77744 ÷ 217
    77744 ÷ 131072     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59057 ÷ 217
    59057 ÷ 131072     		y = 0.450569152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450569152832031 × 2 - 1) × π
    0.0988616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.310583172638344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310583172638344))-π/2
    2×atan(1.36422045824209)-π/2
    2×0.938251699208021-π/2
    1.87650339841604-1.57079632675     		φ = 0.30570707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30570707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.515725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77744 KachelY 59057 0.58521367 0.30570707 33.530273 17.515725
    Oben rechts KachelX + 1 77745 KachelY 59057 0.58526161 0.30570707 33.533020 17.515725
    Unten links KachelX 77744 KachelY + 1 59058 0.58521367 0.30566136 33.530273 17.513106
    Unten rechts KachelX + 1 77745 KachelY + 1 59058 0.58526161 0.30566136 33.533020 17.513106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30570707-0.30566136) × R
    4.57100000000321e-05 × 6371000     		dl = 291.218410000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30570707-0.30566136) × R
    4.57100000000321e-05 × 6371000     		dr = 291.218410000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58526161) × cos(0.30570707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953634385853103 × 6371000     		do = 291.264487988439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58526161) × cos(0.30566136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953648142082935 × 6371000     		du = 291.268689495115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30570707)-sin(0.30566136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953634385853103-0.953648142082935)×R²
    abs(0.58526161-0.58521367)×1.37562298317961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37562298317961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37562298317961e-05×40589641000000     		ar = 84822.192874318m²