Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77744 / 57200
↖ ↑ ↗
← N 22.309426°
E 33.530273°		 ← 282.56 m → N 22.309426°
E 33.533020°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 22.306885°
E 33.530273°		 ← 282.57 m →
79 840 m²		 N 22.306885°
E 33.533020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593143463134766 y=0.436405181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593143463134766 × 217)
    floor (0.593143463134766 × 131072)
    floor (77744.5)     		tx = 77744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436405181884766 × 217)
    floor (0.436405181884766 × 131072)
    floor (57200.5)     		ty = 57200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77744 / 57200 ti = "17/77744/57200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77744/57200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77744 ÷ 217
    77744 ÷ 131072     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57200 ÷ 217
    57200 ÷ 131072     		y = 0.4364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    0.127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399601995232788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399601995232788))-π/2
    2×atan(1.49123106244242)-π/2
    2×0.980084630971389-π/2
    1.96016926194278-1.57079632675     		φ = 0.38937294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38937294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.309426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77744 KachelY 57200 0.58521367 0.38937294 33.530273 22.309426
    Oben rechts KachelX + 1 77745 KachelY 57200 0.58526161 0.38937294 33.533020 22.309426
    Unten links KachelX 77744 KachelY + 1 57201 0.58521367 0.38932859 33.530273 22.306885
    Unten rechts KachelX + 1 77745 KachelY + 1 57201 0.58526161 0.38932859 33.533020 22.306885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38937294-0.38932859) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38937294-0.38932859) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58526161) × cos(0.38937294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925147278950199 × 6371000     		do = 282.563792282166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58526161) × cos(0.38932859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925164113671421 × 6371000     		du = 282.568934039353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38937294)-sin(0.38932859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925147278950199-0.925164113671421)×R²
    abs(0.58526161-0.58521367)×1.68347212218256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68347212218256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68347212218256e-05×40589641000000     		ar = 79840.2138046536m²