Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77743 / 57201
↖ ↑ ↗
← N 22.306885°
E 33.527527°		 ← 282.57 m → N 22.306885°
E 33.530273°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 22.304344°
E 33.527527°		 ← 282.57 m →
79 842 m²		 N 22.304344°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593135833740234 y=0.436412811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593135833740234 × 217)
    floor (0.593135833740234 × 131072)
    floor (77743.5)     		tx = 77743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436412811279297 × 217)
    floor (0.436412811279297 × 131072)
    floor (57201.5)     		ty = 57201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77743 / 57201 ti = "17/77743/57201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77743/57201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77743 ÷ 217
    77743 ÷ 131072     		x = 0.593132019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57201 ÷ 217
    57201 ÷ 131072     		y = 0.436408996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593132019042969 × 2 - 1) × π
    0.186264038085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58516573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436408996582031 × 2 - 1) × π
    0.127182006835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.399554058333168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58516573} λ = 0.58516573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399554058333168))-π/2
    2×atan(1.49115957916203)-π/2
    2×0.980062456423473-π/2
    1.96012491284695-1.57079632675     		φ = 0.38932859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58516573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.527527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38932859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.306885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77743 KachelY 57201 0.58516573 0.38932859 33.527527 22.306885
    Oben rechts KachelX + 1 77744 KachelY 57201 0.58521367 0.38932859 33.530273 22.306885
    Unten links KachelX 77743 KachelY + 1 57202 0.58516573 0.38928424 33.527527 22.304344
    Unten rechts KachelX + 1 77744 KachelY + 1 57202 0.58521367 0.38928424 33.530273 22.304344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38932859-0.38928424) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dl = 282.553849999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38932859-0.38928424) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dr = 282.553849999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58516573-0.58521367) × cos(0.38932859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925164113671421 × 6371000     		do = 282.568934039353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58516573-0.58521367) × cos(0.38928424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925180946572917 × 6371000     		du = 282.574075240748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38932859)-sin(0.38928424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925164113671421-0.925180946572917)×R²
    abs(0.58521367-0.58516573)×1.68329014956781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68329014956781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68329014956781e-05×40589641000000     		ar = 79841.6665493961m²