Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77742 / 83492
↖ ↑ ↗
← S 44.158563°
E 33.524780°		 ← 219.07 m → S 44.158563°
E 33.527527°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 44.160534°
E 33.524780°		 ← 219.06 m →
47 997 m²		 S 44.160534°
E 33.527527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593128204345703 y=0.636997222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593128204345703 × 217)
    floor (0.593128204345703 × 131072)
    floor (77742.5)     		tx = 77742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636997222900391 × 217)
    floor (0.636997222900391 × 131072)
    floor (83492.5)     		ty = 83492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77742 / 83492 ti = "17/77742/83492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77742/83492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77742 ÷ 217
    77742 ÷ 131072     		x = 0.593124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83492 ÷ 217
    83492 ÷ 131072     		y = 0.636993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593124389648438 × 2 - 1) × π
    0.186248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58511780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.27398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.860754969577728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58511780} λ = 0.58511780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860754969577728))-π/2
    2×atan(0.422842728385571)-π/2
    2×0.40004200092959-π/2
    0.800084001859181-1.57079632675     		φ = -0.77071232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58511780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.524780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77071232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.158563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77742 KachelY 83492 0.58511780 -0.77071232 33.524780 -44.158563
    Oben rechts KachelX + 1 77743 KachelY 83492 0.58516573 -0.77071232 33.527527 -44.158563
    Unten links KachelX 77742 KachelY + 1 83493 0.58511780 -0.77074671 33.524780 -44.160534
    Unten rechts KachelX + 1 77743 KachelY + 1 83493 0.58516573 -0.77074671 33.527527 -44.160534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77071232--0.77074671) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dl = 219.098689999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77071232--0.77074671) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dr = 219.098689999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58511780-0.58516573) × cos(-0.77071232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717414616465847 × 6371000     		do = 219.071183635817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58511780-0.58516573) × cos(-0.77074671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717390658370406 × 6371000     		du = 219.063867743158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77071232)-sin(-0.77074671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717414616465847-0.717390658370406)×R²
    abs(0.58516573-0.58511780)×2.3958095440979e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3958095440979e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3958095440979e-05×40589641000000     		ar = 47997.4079046675m²