Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77742 / 57270
↖ ↑ ↗
← N 22.131443°
E 33.524780°		 ← 282.86 m → N 22.131443°
E 33.527527°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.128899°
E 33.524780°		 ← 282.87 m →
80 015 m²		 N 22.128899°
E 33.527527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593128204345703 y=0.436939239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593128204345703 × 217)
    floor (0.593128204345703 × 131072)
    floor (77742.5)     		tx = 77742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436939239501953 × 217)
    floor (0.436939239501953 × 131072)
    floor (57270.5)     		ty = 57270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77742 / 57270 ti = "17/77742/57270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77742/57270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77742 ÷ 217
    77742 ÷ 131072     		x = 0.593124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57270 ÷ 217
    57270 ÷ 131072     		y = 0.436935424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593124389648438 × 2 - 1) × π
    0.186248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58511780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436935424804688 × 2 - 1) × π
    0.126129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.396246412259384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58511780} λ = 0.58511780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396246412259384))-π/2
    2×atan(1.48623549908103)-π/2
    2×0.978531440212405-π/2
    1.95706288042481-1.57079632675     		φ = 0.38626655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58511780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.524780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38626655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.131443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77742 KachelY 57270 0.58511780 0.38626655 33.524780 22.131443
    Oben rechts KachelX + 1 77743 KachelY 57270 0.58516573 0.38626655 33.527527 22.131443
    Unten links KachelX 77742 KachelY + 1 57271 0.58511780 0.38622215 33.524780 22.128899
    Unten rechts KachelX + 1 77743 KachelY + 1 57271 0.58516573 0.38622215 33.527527 22.128899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38626655-0.38622215) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38626655-0.38622215) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58511780-0.58516573) × cos(0.38626655) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926322025014465 × 6371000     		do = 282.863573992301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58511780-0.58516573) × cos(0.38622215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926338751032029 × 6371000     		du = 282.868681482978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38626655)-sin(0.38622215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926322025014465-0.926338751032029)×R²
    abs(0.58516573-0.58511780)×1.67260175636397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67260175636397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67260175636397e-05×40589641000000     		ar = 80015.0204449798m²