Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77741 / 83519
↖ ↑ ↗
← S 44.211741°
E 33.522034°		 ← 218.92 m → S 44.211741°
E 33.524780°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.213710°
E 33.522034°		 ← 218.91 m →
47 922 m²		 S 44.213710°
E 33.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593120574951172 y=0.637203216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593120574951172 × 217)
    floor (0.593120574951172 × 131072)
    floor (77741.5)     		tx = 77741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637203216552734 × 217)
    floor (0.637203216552734 × 131072)
    floor (83519.5)     		ty = 83519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77741 / 83519 ti = "17/77741/83519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77741/83519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77741 ÷ 217
    77741 ÷ 131072     		x = 0.593116760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83519 ÷ 217
    83519 ÷ 131072     		y = 0.637199401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593116760253906 × 2 - 1) × π
    0.186233520507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58506986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637199401855469 × 2 - 1) × π
    -0.274398803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.86204926586747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58506986} λ = 0.58506986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86204926586747))-π/2
    2×atan(0.422295798632005)-π/2
    2×0.399577936707455-π/2
    0.79915587341491-1.57079632675     		φ = -0.77164045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58506986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.522034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77164045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.211741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77741 KachelY 83519 0.58506986 -0.77164045 33.522034 -44.211741
    Oben rechts KachelX + 1 77742 KachelY 83519 0.58511780 -0.77164045 33.524780 -44.211741
    Unten links KachelX 77741 KachelY + 1 83520 0.58506986 -0.77167481 33.522034 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 77742 KachelY + 1 83520 0.58511780 -0.77167481 33.524780 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77164045--0.77167481) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77164045--0.77167481) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58506986-0.58511780) × cos(-0.77164045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716767729094985 × 6371000     		do = 218.919314066812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58506986-0.58511780) × cos(-0.77167481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 218.91199604673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77164045)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716767729094985-0.716743769031627)×R²
    abs(0.58511780-0.58506986)×2.39600633573644e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39600633573644e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39600633573644e-05×40589641000000     		ar = 47922.2918991244m²