Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77741 / 57947
↖ ↑ ↗
← N 20.398698°
E 33.522034°		 ← 286.27 m → N 20.398698°
E 33.524780°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.396124°
E 33.522034°		 ← 286.28 m →
81 946 m²		 N 20.396124°
E 33.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593120574951172 y=0.442104339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593120574951172 × 217)
    floor (0.593120574951172 × 131072)
    floor (77741.5)     		tx = 77741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442104339599609 × 217)
    floor (0.442104339599609 × 131072)
    floor (57947.5)     		ty = 57947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77741 / 57947 ti = "17/77741/57947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77741/57947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77741 ÷ 217
    77741 ÷ 131072     		x = 0.593116760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57947 ÷ 217
    57947 ÷ 131072     		y = 0.442100524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593116760253906 × 2 - 1) × π
    0.186233520507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58506986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442100524902344 × 2 - 1) × π
    0.115798950195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.363793131216606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58506986} λ = 0.58506986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363793131216606))-π/2
    2×atan(1.4387765454164)-π/2
    2×0.963410381840075-π/2
    1.92682076368015-1.57079632675     		φ = 0.35602444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58506986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.522034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35602444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.398698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77741 KachelY 57947 0.58506986 0.35602444 33.522034 20.398698
    Oben rechts KachelX + 1 77742 KachelY 57947 0.58511780 0.35602444 33.524780 20.398698
    Unten links KachelX 77741 KachelY + 1 57948 0.58506986 0.35597951 33.522034 20.396124
    Unten rechts KachelX + 1 77742 KachelY + 1 57948 0.58511780 0.35597951 33.524780 20.396124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35602444-0.35597951) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35602444-0.35597951) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58506986-0.58511780) × cos(0.35602444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937289911388555 × 6371000     		do = 286.272464780196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58506986-0.58511780) × cos(0.35597951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937305570827478 × 6371000     		du = 286.277247575917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35602444)-sin(0.35597951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937289911388555-0.937305570827478)×R²
    abs(0.58511780-0.58506986)×1.56594389225662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56594389225662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56594389225662e-05×40589641000000     		ar = 81945.8999081905m²