Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77741 / 57327
↖ ↑ ↗
← N 21.986348°
E 33.522034°		 ← 283.21 m → N 21.986348°
E 33.524780°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.983802°
E 33.522034°		 ← 283.22 m →
80 204 m²		 N 21.983802°
E 33.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593120574951172 y=0.437374114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593120574951172 × 217)
    floor (0.593120574951172 × 131072)
    floor (77741.5)     		tx = 77741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437374114990234 × 217)
    floor (0.437374114990234 × 131072)
    floor (57327.5)     		ty = 57327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77741 / 57327 ti = "17/77741/57327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77741/57327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77741 ÷ 217
    77741 ÷ 131072     		x = 0.593116760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57327 ÷ 217
    57327 ÷ 131072     		y = 0.437370300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593116760253906 × 2 - 1) × π
    0.186233520507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58506986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437370300292969 × 2 - 1) × π
    0.125259399414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.393514008981041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58506986} λ = 0.58506986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393514008981041))-π/2
    2×atan(1.48218004741884)-π/2
    2×0.97726524730904-π/2
    1.95453049461808-1.57079632675     		φ = 0.38373417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58506986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.522034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38373417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.986348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77741 KachelY 57327 0.58506986 0.38373417 33.522034 21.986348
    Oben rechts KachelX + 1 77742 KachelY 57327 0.58511780 0.38373417 33.524780 21.986348
    Unten links KachelX 77741 KachelY + 1 57328 0.58506986 0.38368972 33.522034 21.983802
    Unten rechts KachelX + 1 77742 KachelY + 1 57328 0.58511780 0.38368972 33.524780 21.983802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38373417-0.38368972) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dl = 283.190949999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38373417-0.38368972) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dr = 283.190949999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58506986-0.58511780) × cos(0.38373417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927273084051975 × 6371000     		do = 283.213067878471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58506986-0.58511780) × cos(0.38368972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927289724578809 × 6371000     		du = 283.218150323693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38373417)-sin(0.38368972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927273084051975-0.927289724578809)×R²
    abs(0.58511780-0.58506986)×1.66405268346992e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66405268346992e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66405268346992e-05×40589641000000     		ar = 80204.0974093036m²