Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77740 / 57179
↖ ↑ ↗
← N 22.362777°
E 33.519287°		 ← 282.46 m → N 22.362777°
E 33.522034°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.360237°
E 33.519287°		 ← 282.46 m →
79 774 m²		 N 22.360237°
E 33.522034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593112945556641 y=0.436244964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593112945556641 × 217)
    floor (0.593112945556641 × 131072)
    floor (77740.5)     		tx = 77740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436244964599609 × 217)
    floor (0.436244964599609 × 131072)
    floor (57179.5)     		ty = 57179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77740 / 57179 ti = "17/77740/57179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77740/57179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77740 ÷ 217
    77740 ÷ 131072     		x = 0.593109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57179 ÷ 217
    57179 ÷ 131072     		y = 0.436241149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593109130859375 × 2 - 1) × π
    0.18621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58502192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436241149902344 × 2 - 1) × π
    0.127517700195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.400608670124809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58502192} λ = 0.58502192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400608670124809))-π/2
    2×atan(1.49273300316735)-π/2
    2×0.980550203210523-π/2
    1.96110040642105-1.57079632675     		φ = 0.39030408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58502192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39030408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.362777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77740 KachelY 57179 0.58502192 0.39030408 33.519287 22.362777
    Oben rechts KachelX + 1 77741 KachelY 57179 0.58506986 0.39030408 33.522034 22.362777
    Unten links KachelX 77740 KachelY + 1 57180 0.58502192 0.39025975 33.519287 22.360237
    Unten rechts KachelX + 1 77741 KachelY + 1 57180 0.58506986 0.39025975 33.522034 22.360237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39030408-0.39025975) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39030408-0.39025975) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58502192-0.58506986) × cos(0.39030408) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.92479340940513 × 6371000     		do = 282.455711415154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58502192-0.58506986) × cos(0.39025975) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.924810274715759 × 6371000     		du = 282.460862515133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39030408)-sin(0.39025975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92479340940513-0.924810274715759)×R²
    abs(0.58506986-0.58502192)×1.68653106296102e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.68653106296102e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.68653106296102e-05×40589641000000     		ar = 79773.6856244189m²