Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77739 / 57289
↖ ↑ ↗
← N 22.083095°
E 33.516541°		 ← 282.96 m → N 22.083095°
E 33.519287°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
N 22.080550°
E 33.516541°		 ← 282.97 m →
80 079 m²		 N 22.080550°
E 33.519287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593105316162109 y=0.437084197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593105316162109 × 217)
    floor (0.593105316162109 × 131072)
    floor (77739.5)     		tx = 77739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437084197998047 × 217)
    floor (0.437084197998047 × 131072)
    floor (57289.5)     		ty = 57289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77739 / 57289 ti = "17/77739/57289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77739/57289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77739 ÷ 217
    77739 ÷ 131072     		x = 0.593101501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57289 ÷ 217
    57289 ÷ 131072     		y = 0.437080383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593101501464844 × 2 - 1) × π
    0.186203002929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58497399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437080383300781 × 2 - 1) × π
    0.125839233398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.395335611166603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58497399} λ = 0.58497399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395335611166603))-π/2
    2×atan(1.48488245043697)-π/2
    2×0.978109520324526-π/2
    1.95621904064905-1.57079632675     		φ = 0.38542271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58497399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.516541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38542271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.083095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77739 KachelY 57289 0.58497399 0.38542271 33.516541 22.083095
    Oben rechts KachelX + 1 77740 KachelY 57289 0.58502192 0.38542271 33.519287 22.083095
    Unten links KachelX 77739 KachelY + 1 57290 0.58497399 0.38537829 33.516541 22.080550
    Unten rechts KachelX + 1 77740 KachelY + 1 57290 0.58502192 0.38537829 33.519287 22.080550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38542271-0.38537829) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38542271-0.38537829) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58497399-0.58502192) × cos(0.38542271) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.926639597273312 × 6371000     		do = 282.960548501279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58497399-0.58502192) × cos(0.38537829) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.926656296096765 × 6371000     		du = 282.965647687907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38542271)-sin(0.38537829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926639597273312-0.926656296096765)×R²
    abs(0.58502192-0.58497399)×1.66988234533427e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.66988234533427e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.66988234533427e-05×40589641000000     		ar = 80078.505840584m²