Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77738 / 84394
↖ ↑ ↗
← S 45.909122°
E 33.513794°		 ← 212.51 m → S 45.909122°
E 33.516541°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 45.911033°
E 33.513794°		 ← 212.51 m →
45 153 m²		 S 45.911033°
E 33.516541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593097686767578 y=0.643878936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593097686767578 × 217)
    floor (0.593097686767578 × 131072)
    floor (77738.5)     		tx = 77738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643878936767578 × 217)
    floor (0.643878936767578 × 131072)
    floor (84394.5)     		ty = 84394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77738 / 84394 ti = "17/77738/84394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77738/84394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77738 ÷ 217
    77738 ÷ 131072     		x = 0.593093872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84394 ÷ 217
    84394 ÷ 131072     		y = 0.643875122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593093872070312 × 2 - 1) × π
    0.186187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58492605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643875122070312 × 2 - 1) × π
    -0.287750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903994053035019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58492605} λ = 0.58492605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903994053035019))-π/2
    2×atan(0.404949037537089)-π/2
    2×0.38476549452526-π/2
    0.76953098905052-1.57079632675     		φ = -0.80126534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58492605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80126534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.909122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77738 KachelY 84394 0.58492605 -0.80126534 33.513794 -45.909122
    Oben rechts KachelX + 1 77739 KachelY 84394 0.58497399 -0.80126534 33.516541 -45.909122
    Unten links KachelX 77738 KachelY + 1 84395 0.58492605 -0.80129869 33.513794 -45.911033
    Unten rechts KachelX + 1 77739 KachelY + 1 84395 0.58497399 -0.80129869 33.516541 -45.911033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80126534--0.80129869) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dl = 212.472849999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80126534--0.80129869) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dr = 212.472849999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58492605-0.58497399) × cos(-0.80126534) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695798452489958 × 6371000     		do = 212.514757242953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58492605-0.58497399) × cos(-0.80129869) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695774498896161 × 6371000     		du = 212.507441198842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80126534)-sin(-0.80129869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695798452489958-0.695774498896161)×R²
    abs(0.58497399-0.58492605)×2.39535937969215e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39535937969215e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39535937969215e-05×40589641000000     		ar = 45152.8389123164m²