Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77737 / 57274
↖ ↑ ↗
← N 22.121266°
E 33.511047°		 ← 282.94 m → N 22.121266°
E 33.513794°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 22.118722°
E 33.511047°		 ← 282.95 m →
80 056 m²		 N 22.118722°
E 33.513794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593090057373047 y=0.436969757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593090057373047 × 217)
    floor (0.593090057373047 × 131072)
    floor (77737.5)     		tx = 77737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436969757080078 × 217)
    floor (0.436969757080078 × 131072)
    floor (57274.5)     		ty = 57274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77737 / 57274 ti = "17/77737/57274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77737/57274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77737 ÷ 217
    77737 ÷ 131072     		x = 0.593086242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57274 ÷ 217
    57274 ÷ 131072     		y = 0.436965942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593086242675781 × 2 - 1) × π
    0.186172485351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58487811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436965942382812 × 2 - 1) × π
    0.126068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.396054664660904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58487811} λ = 0.58487811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396054664660904))-π/2
    2×atan(1.48595054431388)-π/2
    2×0.978442626993358-π/2
    1.95688525398672-1.57079632675     		φ = 0.38608893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58487811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.511047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38608893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.121266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77737 KachelY 57274 0.58487811 0.38608893 33.511047 22.121266
    Oben rechts KachelX + 1 77738 KachelY 57274 0.58492605 0.38608893 33.513794 22.121266
    Unten links KachelX 77737 KachelY + 1 57275 0.58487811 0.38604452 33.511047 22.118722
    Unten rechts KachelX + 1 77738 KachelY + 1 57275 0.58492605 0.38604452 33.513794 22.118722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38608893-0.38604452) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38608893-0.38604452) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58487811-0.58492605) × cos(0.38608893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926388925659068 × 6371000     		do = 282.94302314704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58487811-0.58492605) × cos(0.38604452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926405648136292 × 6371000     		du = 282.948130622021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38608893)-sin(0.38604452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926388925659068-0.926405648136292)×R²
    abs(0.58492605-0.58487811)×1.67224772245067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67224772245067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67224772245067e-05×40589641000000     		ar = 80055.520878488m²