Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77736 / 57383
↖ ↑ ↗
← N 21.843654°
E 33.508301°		 ← 283.44 m → N 21.843654°
E 33.511047°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 21.841105°
E 33.508301°		 ← 283.44 m →
80 358 m²		 N 21.841105°
E 33.511047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593082427978516 y=0.437801361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593082427978516 × 217)
    floor (0.593082427978516 × 131072)
    floor (77736.5)     		tx = 77736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437801361083984 × 217)
    floor (0.437801361083984 × 131072)
    floor (57383.5)     		ty = 57383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77736 / 57383 ti = "17/77736/57383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77736/57383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77736 ÷ 217
    77736 ÷ 131072     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57383 ÷ 217
    57383 ÷ 131072     		y = 0.437797546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437797546386719 × 2 - 1) × π
    0.124404907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.390829542602318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390829542602318))-π/2
    2×atan(1.47820652069999)-π/2
    2×0.976020006240389-π/2
    1.95204001248078-1.57079632675     		φ = 0.38124369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38124369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.843654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77736 KachelY 57383 0.58483018 0.38124369 33.508301 21.843654
    Oben rechts KachelX + 1 77737 KachelY 57383 0.58487811 0.38124369 33.511047 21.843654
    Unten links KachelX 77736 KachelY + 1 57384 0.58483018 0.38119919 33.508301 21.841105
    Unten rechts KachelX + 1 77737 KachelY + 1 57384 0.58487811 0.38119919 33.511047 21.841105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38124369-0.38119919) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38124369-0.38119919) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58487811) × cos(0.38124369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928202607404029 × 6371000     		do = 283.437832448361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58487811) × cos(0.38119919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928219163829304 × 6371000     		du = 283.442888151992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38124369)-sin(0.38119919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928202607404029-0.928219163829304)×R²
    abs(0.58487811-0.58483018)×1.65564252740946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65564252740946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65564252740946e-05×40589641000000     		ar = 80358.0348416947m²