Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77736 / 57240
↖ ↑ ↗
← N 22.207749°
E 33.508301°		 ← 282.71 m → N 22.207749°
E 33.511047°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 22.205206°
E 33.508301°		 ← 282.72 m →
79 936 m²		 N 22.205206°
E 33.511047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593082427978516 y=0.436710357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593082427978516 × 217)
    floor (0.593082427978516 × 131072)
    floor (77736.5)     		tx = 77736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436710357666016 × 217)
    floor (0.436710357666016 × 131072)
    floor (57240.5)     		ty = 57240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77736 / 57240 ti = "17/77736/57240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77736/57240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77736 ÷ 217
    77736 ÷ 131072     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57240 ÷ 217
    57240 ÷ 131072     		y = 0.43670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    0.1265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.397684519247986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397684519247986))-π/2
    2×atan(1.48837440235621)-π/2
    2×0.979197334702354-π/2
    1.95839466940471-1.57079632675     		φ = 0.38759834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38759834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.207749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77736 KachelY 57240 0.58483018 0.38759834 33.508301 22.207749
    Oben rechts KachelX + 1 77737 KachelY 57240 0.58487811 0.38759834 33.511047 22.207749
    Unten links KachelX 77736 KachelY + 1 57241 0.58483018 0.38755396 33.508301 22.205206
    Unten rechts KachelX + 1 77737 KachelY + 1 57241 0.58487811 0.38755396 33.511047 22.205206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38759834-0.38755396) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38759834-0.38755396) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58487811) × cos(0.38759834) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925819474865683 × 6371000     		do = 282.710114258692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58487811) × cos(0.38755396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925836248085182 × 6371000     		du = 282.715236163048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38759834)-sin(0.38755396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925819474865683-0.925836248085182)×R²
    abs(0.58487811-0.58483018)×1.67732194993331e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67732194993331e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67732194993331e-05×40589641000000     		ar = 79935.5897113803m²