Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77735 / 57255
↖ ↑ ↗
← N 22.169601°
E 33.505554°		 ← 282.85 m → N 22.169601°
E 33.508301°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
N 22.167058°
E 33.505554°		 ← 282.85 m →
79 992 m²		 N 22.167058°
E 33.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593074798583984 y=0.436824798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593074798583984 × 217)
    floor (0.593074798583984 × 131072)
    floor (77735.5)     		tx = 77735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436824798583984 × 217)
    floor (0.436824798583984 × 131072)
    floor (57255.5)     		ty = 57255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77735 / 57255 ti = "17/77735/57255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77735/57255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77735 ÷ 217
    77735 ÷ 131072     		x = 0.593070983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57255 ÷ 217
    57255 ÷ 131072     		y = 0.436820983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593070983886719 × 2 - 1) × π
    0.186141967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58478224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436820983886719 × 2 - 1) × π
    0.126358032226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.396965465753685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58478224} λ = 0.58478224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396965465753685))-π/2
    2×atan(1.48730456622217)-π/2
    2×0.978864432627408-π/2
    1.95772886525482-1.57079632675     		φ = 0.38693254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58478224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.505554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38693254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.169601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77735 KachelY 57255 0.58478224 0.38693254 33.505554 22.169601
    Oben rechts KachelX + 1 77736 KachelY 57255 0.58483018 0.38693254 33.508301 22.169601
    Unten links KachelX 77735 KachelY + 1 57256 0.58478224 0.38688815 33.505554 22.167058
    Unten rechts KachelX + 1 77736 KachelY + 1 57256 0.58483018 0.38688815 33.508301 22.167058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38693254-0.38688815) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38693254-0.38688815) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58478224-0.58483018) × cos(0.38693254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926070919409276 × 6371000     		do = 282.845895852873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58478224-0.58483018) × cos(0.38688815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926087669041593 × 6371000     		du = 282.851011621718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38693254)-sin(0.38688815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926070919409276-0.926087669041593)×R²
    abs(0.58483018-0.58478224)×1.67496323171257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67496323171257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67496323171257e-05×40589641000000     		ar = 79992.0006830461m²