Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77734 / 57246
↖ ↑ ↗
← N 22.192491°
E 33.502808°		 ← 282.80 m → N 22.192491°
E 33.505554°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 22.189948°
E 33.502808°		 ← 282.80 m →
79 961 m²		 N 22.189948°
E 33.505554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593067169189453 y=0.436756134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593067169189453 × 217)
    floor (0.593067169189453 × 131072)
    floor (77734.5)     		tx = 77734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436756134033203 × 217)
    floor (0.436756134033203 × 131072)
    floor (57246.5)     		ty = 57246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77734 / 57246 ti = "17/77734/57246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77734/57246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77734 ÷ 217
    77734 ÷ 131072     		x = 0.593063354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57246 ÷ 217
    57246 ÷ 131072     		y = 0.436752319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593063354492188 × 2 - 1) × π
    0.186126708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58473430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436752319335938 × 2 - 1) × π
    0.126495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.397396897850265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58473430} λ = 0.58473430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397396897850265))-π/2
    2×atan(1.48794637558805)-π/2
    2×0.979064184721061-π/2
    1.95812836944212-1.57079632675     		φ = 0.38733204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58473430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.502808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38733204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.192491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77734 KachelY 57246 0.58473430 0.38733204 33.502808 22.192491
    Oben rechts KachelX + 1 77735 KachelY 57246 0.58478224 0.38733204 33.505554 22.192491
    Unten links KachelX 77734 KachelY + 1 57247 0.58473430 0.38728766 33.502808 22.189948
    Unten rechts KachelX + 1 77735 KachelY + 1 57247 0.58478224 0.38728766 33.505554 22.189948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38733204-0.38728766) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38733204-0.38728766) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58473430-0.58478224) × cos(0.38733204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925920094383717 × 6371000     		do = 282.799830007831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58473430-0.58478224) × cos(0.38728766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925936856660824 × 6371000     		du = 282.804949638721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38733204)-sin(0.38728766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925920094383717-0.925936856660824)×R²
    abs(0.58478224-0.58473430)×1.67622771062303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67622771062303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67622771062303e-05×40589641000000     		ar = 79960.9560677663m²