Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77733 / 59047
↖ ↑ ↗
← N 17.541915°
E 33.500061°		 ← 291.22 m → N 17.541915°
E 33.502808°		 →
↑
291.22 m
↓
↑
291.22 m
↓
N 17.539296°
E 33.500061°		 ← 291.23 m →
84 810 m²		 N 17.539296°
E 33.502808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593059539794922 y=0.450496673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593059539794922 × 217)
    floor (0.593059539794922 × 131072)
    floor (77733.5)     		tx = 77733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450496673583984 × 217)
    floor (0.450496673583984 × 131072)
    floor (59047.5)     		ty = 59047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77733 / 59047 ti = "17/77733/59047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77733/59047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77733 ÷ 217
    77733 ÷ 131072     		x = 0.593055725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59047 ÷ 217
    59047 ÷ 131072     		y = 0.450492858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593055725097656 × 2 - 1) × π
    0.186111450195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58468636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450492858886719 × 2 - 1) × π
    0.0990142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311062541634544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58468636} λ = 0.58468636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311062541634544))-π/2
    2×atan(1.36487458000408)-π/2
    2×0.93848025409137-π/2
    1.87696050818274-1.57079632675     		φ = 0.30616418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58468636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.500061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30616418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.541915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77733 KachelY 59047 0.58468636 0.30616418 33.500061 17.541915
    Oben rechts KachelX + 1 77734 KachelY 59047 0.58473430 0.30616418 33.502808 17.541915
    Unten links KachelX 77733 KachelY + 1 59048 0.58468636 0.30611847 33.500061 17.539296
    Unten rechts KachelX + 1 77734 KachelY + 1 59048 0.58473430 0.30611847 33.502808 17.539296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30616418-0.30611847) × R
    4.57100000000321e-05 × 6371000     		dl = 291.218410000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30616418-0.30611847) × R
    4.57100000000321e-05 × 6371000     		dr = 291.218410000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58468636-0.58473430) × cos(0.30616418) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953496710956478 × 6371000     		do = 291.222438531932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58468636-0.58473430) × cos(0.30611847) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953510487110727 × 6371000     		du = 291.226646124038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30616418)-sin(0.30611847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953496710956478-0.953510487110727)×R²
    abs(0.58473430-0.58468636)×1.37761542494674e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.37761542494674e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.37761542494674e-05×40589641000000     		ar = 84809.9481845175m²