Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77732 / 59044
↖ ↑ ↗
← N 17.549772°
E 33.497315°		 ← 291.15 m → N 17.549772°
E 33.500061°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.547153°
E 33.497315°		 ← 291.15 m →
84 770 m²		 N 17.547153°
E 33.500061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593051910400391 y=0.450473785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593051910400391 × 217)
    floor (0.593051910400391 × 131072)
    floor (77732.5)     		tx = 77732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450473785400391 × 217)
    floor (0.450473785400391 × 131072)
    floor (59044.5)     		ty = 59044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77732 / 59044 ti = "17/77732/59044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77732/59044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77732 ÷ 217
    77732 ÷ 131072     		x = 0.593048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59044 ÷ 217
    59044 ÷ 131072     		y = 0.450469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593048095703125 × 2 - 1) × π
    0.18609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58463843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450469970703125 × 2 - 1) × π
    0.09906005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311206352333405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58463843} λ = 0.58463843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311206352333405))-π/2
    2×atan(1.3650708776858)-π/2
    2×0.938548814119428-π/2
    1.87709762823886-1.57079632675     		φ = 0.30630130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58463843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.497315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30630130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.549772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77732 KachelY 59044 0.58463843 0.30630130 33.497315 17.549772
    Oben rechts KachelX + 1 77733 KachelY 59044 0.58468636 0.30630130 33.500061 17.549772
    Unten links KachelX 77732 KachelY + 1 59045 0.58463843 0.30625560 33.497315 17.547153
    Unten rechts KachelX + 1 77733 KachelY + 1 59045 0.58468636 0.30625560 33.500061 17.547153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30630130-0.30625560) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dl = 291.154699999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30630130-0.30625560) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dr = 291.154699999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58463843-0.58468636) × cos(0.30630130) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.953455373555746 × 6371000     		do = 291.149068382895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58463843-0.58468636) × cos(0.30625560) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.953469152671288 × 6371000     		du = 291.153276001588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30630130)-sin(0.30625560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953455373555746-0.953469152671288)×R²
    abs(0.58468636-0.58463843)×1.37791155412348e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.37791155412348e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.37791155412348e-05×40589641000000     		ar = 84770.0322089017m²