Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77732 / 57900
↖ ↑ ↗
← N 20.519644°
E 33.497315°		 ← 285.99 m → N 20.519644°
E 33.500061°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.517072°
E 33.497315°		 ← 285.99 m →
81 791 m²		 N 20.517072°
E 33.500061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593051910400391 y=0.441745758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593051910400391 × 217)
    floor (0.593051910400391 × 131072)
    floor (77732.5)     		tx = 77732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441745758056641 × 217)
    floor (0.441745758056641 × 131072)
    floor (57900.5)     		ty = 57900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77732 / 57900 ti = "17/77732/57900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77732/57900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77732 ÷ 217
    77732 ÷ 131072     		x = 0.593048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57900 ÷ 217
    57900 ÷ 131072     		y = 0.441741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593048095703125 × 2 - 1) × π
    0.18609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58463843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441741943359375 × 2 - 1) × π
    0.11651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.366046165498749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58463843} λ = 0.58463843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366046165498749))-π/2
    2×atan(1.44202181277408)-π/2
    2×0.964465839730243-π/2
    1.92893167946049-1.57079632675     		φ = 0.35813535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58463843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.497315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35813535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.519644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77732 KachelY 57900 0.58463843 0.35813535 33.497315 20.519644
    Oben rechts KachelX + 1 77733 KachelY 57900 0.58468636 0.35813535 33.500061 20.519644
    Unten links KachelX 77732 KachelY + 1 57901 0.58463843 0.35809046 33.497315 20.517072
    Unten rechts KachelX + 1 77733 KachelY + 1 57901 0.58468636 0.35809046 33.500061 20.517072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35813535-0.35809046) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35813535-0.35809046) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58463843-0.58468636) × cos(0.35813535) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936552064427821 × 6371000     		do = 285.987439593883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58463843-0.58468636) × cos(0.35809046) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936567798708635 × 6371000     		du = 285.992244245813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35813535)-sin(0.35809046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936552064427821-0.936567798708635)×R²
    abs(0.58468636-0.58463843)×1.57342808144723e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.57342808144723e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.57342808144723e-05×40589641000000     		ar = 81791.4332018249m²