Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77730 / 83618
↖ ↑ ↗
← S 44.406316°
E 33.491821°		 ← 218.19 m → S 44.406316°
E 33.494568°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
S 44.408278°
E 33.491821°		 ← 218.19 m →
47 597 m²		 S 44.408278°
E 33.494568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593036651611328 y=0.637958526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593036651611328 × 217)
    floor (0.593036651611328 × 131072)
    floor (77730.5)     		tx = 77730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637958526611328 × 217)
    floor (0.637958526611328 × 131072)
    floor (83618.5)     		ty = 83618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77730 / 83618 ti = "17/77730/83618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77730/83618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77730 ÷ 217
    77730 ÷ 131072     		x = 0.593032836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83618 ÷ 217
    83618 ÷ 131072     		y = 0.637954711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593032836914062 × 2 - 1) × π
    0.186065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58454255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637954711914062 × 2 - 1) × π
    -0.275909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.866795018929855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58454255} λ = 0.58454255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866795018929855))-π/2
    2×atan(0.42029643504784)-π/2
    2×0.397879949760892-π/2
    0.795759899521785-1.57079632675     		φ = -0.77503643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58454255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.491821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77503643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.406316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77730 KachelY 83618 0.58454255 -0.77503643 33.491821 -44.406316
    Oben rechts KachelX + 1 77731 KachelY 83618 0.58459049 -0.77503643 33.494568 -44.406316
    Unten links KachelX 77730 KachelY + 1 83619 0.58454255 -0.77507067 33.491821 -44.408278
    Unten rechts KachelX + 1 77731 KachelY + 1 83619 0.58459049 -0.77507067 33.494568 -44.408278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77503643--0.77507067) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dl = 218.143039999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77503643--0.77507067) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dr = 218.143039999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58454255-0.58459049) × cos(-0.77503643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714395542925242 × 6371000     		do = 218.194787350501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58454255-0.58459049) × cos(-0.77507067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71437158333693 × 6371000     		du = 218.18746947551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77503643)-sin(-0.77507067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714395542925242-0.71437158333693)×R²
    abs(0.58459049-0.58454255)×2.39595883124721e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39595883124721e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39595883124721e-05×40589641000000     		ar = 47596.8760575533m²