Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77729 / 57578
↖ ↑ ↗
← N 21.345665°
E 33.489075°		 ← 284.41 m → N 21.345665°
E 33.491821°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
N 21.343106°
E 33.489075°		 ← 284.42 m →
80 907 m²		 N 21.343106°
E 33.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593029022216797 y=0.439289093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593029022216797 × 217)
    floor (0.593029022216797 × 131072)
    floor (77729.5)     		tx = 77729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439289093017578 × 217)
    floor (0.439289093017578 × 131072)
    floor (57578.5)     		ty = 57578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77729 / 57578 ti = "17/77729/57578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77729/57578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77729 ÷ 217
    77729 ÷ 131072     		x = 0.593025207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57578 ÷ 217
    57578 ÷ 131072     		y = 0.439285278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593025207519531 × 2 - 1) × π
    0.186050415039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58449462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439285278320312 × 2 - 1) × π
    0.121429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.381481847176407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58449462} λ = 0.58449462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381481847176407))-π/2
    2×atan(1.46445307801171)-π/2
    2×0.971674230151182-π/2
    1.94334846030236-1.57079632675     		φ = 0.37255213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58449462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.489075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37255213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.345665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77729 KachelY 57578 0.58449462 0.37255213 33.489075 21.345665
    Oben rechts KachelX + 1 77730 KachelY 57578 0.58454255 0.37255213 33.491821 21.345665
    Unten links KachelX 77729 KachelY + 1 57579 0.58449462 0.37250748 33.489075 21.343106
    Unten rechts KachelX + 1 77730 KachelY + 1 57579 0.58454255 0.37250748 33.491821 21.343106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37255213-0.37250748) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dl = 284.465149999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37255213-0.37250748) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dr = 284.465149999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58449462-0.58454255) × cos(0.37255213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931401420721821 × 6371000     		do = 284.414628576674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58449462-0.58454255) × cos(0.37250748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931417672110853 × 6371000     		du = 284.419591133818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37255213)-sin(0.37250748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931401420721821-0.931417672110853)×R²
    abs(0.58454255-0.58449462)×1.62513890314964e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62513890314964e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62513890314964e-05×40589641000000     		ar = 80906.7558309357m²