Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77729 / 57111
↖ ↑ ↗
← N 22.535390°
E 33.489075°		 ← 282.05 m → N 22.535390°
E 33.491821°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.532854°
E 33.489075°		 ← 282.05 m →
79 550 m²		 N 22.532854°
E 33.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593029022216797 y=0.435726165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593029022216797 × 217)
    floor (0.593029022216797 × 131072)
    floor (77729.5)     		tx = 77729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435726165771484 × 217)
    floor (0.435726165771484 × 131072)
    floor (57111.5)     		ty = 57111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77729 / 57111 ti = "17/77729/57111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77729/57111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77729 ÷ 217
    77729 ÷ 131072     		x = 0.593025207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57111 ÷ 217
    57111 ÷ 131072     		y = 0.435722351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593025207519531 × 2 - 1) × π
    0.186050415039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58449462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435722351074219 × 2 - 1) × π
    0.128555297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.403868379298973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58449462} λ = 0.58449462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403868379298973))-π/2
    2×atan(1.49760681792605)-π/2
    2×0.98205654541915-π/2
    1.9641130908383-1.57079632675     		φ = 0.39331676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58449462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.489075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39331676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.535390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77729 KachelY 57111 0.58449462 0.39331676 33.489075 22.535390
    Oben rechts KachelX + 1 77730 KachelY 57111 0.58454255 0.39331676 33.491821 22.535390
    Unten links KachelX 77729 KachelY + 1 57112 0.58449462 0.39327249 33.489075 22.532854
    Unten rechts KachelX + 1 77730 KachelY + 1 57112 0.58454255 0.39327249 33.491821 22.532854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39331676-0.39327249) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39331676-0.39327249) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58449462-0.58454255) × cos(0.39331676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923642981031638 × 6371000     		do = 282.045495683245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58449462-0.58454255) × cos(0.39327249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923659946781991 × 6371000     		du = 282.050676379213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39331676)-sin(0.39327249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923642981031638-0.923659946781991)×R²
    abs(0.58454255-0.58449462)×1.69657503522602e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69657503522602e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69657503522602e-05×40589641000000     		ar = 79550.0183378502m²