Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77728 / 84704
↖ ↑ ↗
← S 46.498392°
E 33.486328°		 ← 210.25 m → S 46.498392°
E 33.489075°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
S 46.500283°
E 33.486328°		 ← 210.24 m →
44 202 m²		 S 46.500283°
E 33.489075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593021392822266 y=0.646244049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593021392822266 × 217)
    floor (0.593021392822266 × 131072)
    floor (77728.5)     		tx = 77728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646244049072266 × 217)
    floor (0.646244049072266 × 131072)
    floor (84704.5)     		ty = 84704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77728 / 84704 ti = "17/77728/84704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77728/84704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77728 ÷ 217
    77728 ÷ 131072     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84704 ÷ 217
    84704 ÷ 131072     		y = 0.646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.29248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.918854491917236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918854491917236))-π/2
    2×atan(0.398975809433182)-π/2
    2×0.379623142508302-π/2
    0.759246285016604-1.57079632675     		φ = -0.81155004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81155004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.498392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77728 KachelY 84704 0.58444668 -0.81155004 33.486328 -46.498392
    Oben rechts KachelX + 1 77729 KachelY 84704 0.58449462 -0.81155004 33.489075 -46.498392
    Unten links KachelX 77728 KachelY + 1 84705 0.58444668 -0.81158304 33.486328 -46.500283
    Unten rechts KachelX + 1 77729 KachelY + 1 84705 0.58449462 -0.81158304 33.489075 -46.500283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81155004--0.81158304) × R
    3.30000000000608e-05 × 6371000     		dl = 210.243000000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81155004--0.81158304) × R
    3.30000000000608e-05 × 6371000     		dr = 210.243000000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58449462) × cos(-0.81155004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688374931006971 × 6371000     		do = 210.247422700115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58449462) × cos(-0.81158304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.688350993915373 × 6371000     		du = 210.2401116962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81155004)-sin(-0.81158304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688374931006971-0.688350993915373)×R²
    abs(0.58449462-0.58444668)×2.39370915977588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39370915977588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39370915977588e-05×40589641000000     		ar = 44202.2803512416m²