Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77728 / 57952
↖ ↑ ↗
← N 20.385825°
E 33.486328°		 ← 286.30 m → N 20.385825°
E 33.489075°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.383251°
E 33.486328°		 ← 286.30 m →
81 953 m²		 N 20.383251°
E 33.489075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593021392822266 y=0.442142486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593021392822266 × 217)
    floor (0.593021392822266 × 131072)
    floor (77728.5)     		tx = 77728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442142486572266 × 217)
    floor (0.442142486572266 × 131072)
    floor (57952.5)     		ty = 57952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77728 / 57952 ti = "17/77728/57952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77728/57952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77728 ÷ 217
    77728 ÷ 131072     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57952 ÷ 217
    57952 ÷ 131072     		y = 0.442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363553446718506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363553446718506))-π/2
    2×atan(1.43843173430682)-π/2
    2×0.963298050217746-π/2
    1.92659610043549-1.57079632675     		φ = 0.35579977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35579977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.385825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77728 KachelY 57952 0.58444668 0.35579977 33.486328 20.385825
    Oben rechts KachelX + 1 77729 KachelY 57952 0.58449462 0.35579977 33.489075 20.385825
    Unten links KachelX 77728 KachelY + 1 57953 0.58444668 0.35575484 33.486328 20.383251
    Unten rechts KachelX + 1 77729 KachelY + 1 57953 0.58449462 0.35575484 33.489075 20.383251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35579977-0.35575484) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35579977-0.35575484) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58449462) × cos(0.35579977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937368196628222 × 6371000     		do = 286.296375107452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58449462) × cos(0.35575484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937383846605269 × 6371000     		du = 286.301155013273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35579977)-sin(0.35575484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937368196628222-0.937383846605269)×R²
    abs(0.58449462-0.58444668)×1.56499770475049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56499770475049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56499770475049e-05×40589641000000     		ar = 81952.743802532m²