Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77727 / 84392
↖ ↑ ↗
← S 45.905300°
E 33.483581°		 ← 212.53 m → S 45.905300°
E 33.486328°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 45.907211°
E 33.483581°		 ← 212.52 m →
45 156 m²		 S 45.907211°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593013763427734 y=0.643863677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593013763427734 × 217)
    floor (0.593013763427734 × 131072)
    floor (77727.5)     		tx = 77727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643863677978516 × 217)
    floor (0.643863677978516 × 131072)
    floor (84392.5)     		ty = 84392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77727 / 84392 ti = "17/77727/84392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77727/84392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77727 ÷ 217
    77727 ÷ 131072     		x = 0.593009948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84392 ÷ 217
    84392 ÷ 131072     		y = 0.64385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593009948730469 × 2 - 1) × π
    0.186019897460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58439874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903898179235779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58439874} λ = 0.58439874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903898179235779))-π/2
    2×atan(0.404987863400979)-π/2
    2×0.384798850094307-π/2
    0.769597700188614-1.57079632675     		φ = -0.80119863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58439874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.483581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80119863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.905300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77727 KachelY 84392 0.58439874 -0.80119863 33.483581 -45.905300
    Oben rechts KachelX + 1 77728 KachelY 84392 0.58444668 -0.80119863 33.486328 -45.905300
    Unten links KachelX 77727 KachelY + 1 84393 0.58439874 -0.80123198 33.483581 -45.907211
    Unten rechts KachelX + 1 77728 KachelY + 1 84393 0.58444668 -0.80123198 33.486328 -45.907211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80119863--0.80123198) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dl = 212.472849999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80119863--0.80123198) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dr = 212.472849999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58439874-0.58444668) × cos(-0.80119863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695846364537783 × 6371000     		do = 212.529390815123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58439874-0.58444668) × cos(-0.80123198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695822412492011 × 6371000     		du = 212.522075243818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80119863)-sin(-0.80123198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695846364537783-0.695822412492011)×R²
    abs(0.58444668-0.58439874)×2.39520457728792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39520457728792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39520457728792e-05×40589641000000     		ar = 45155.9481990904m²