Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77727 / 59039
↖ ↑ ↗
← N 17.562865°
E 33.483581°		 ← 291.19 m → N 17.562865°
E 33.486328°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.560247°
E 33.483581°		 ← 291.19 m →
84 782 m²		 N 17.560247°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593013763427734 y=0.450435638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593013763427734 × 217)
    floor (0.593013763427734 × 131072)
    floor (77727.5)     		tx = 77727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450435638427734 × 217)
    floor (0.450435638427734 × 131072)
    floor (59039.5)     		ty = 59039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77727 / 59039 ti = "17/77727/59039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77727/59039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77727 ÷ 217
    77727 ÷ 131072     		x = 0.593009948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59039 ÷ 217
    59039 ÷ 131072     		y = 0.450431823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593009948730469 × 2 - 1) × π
    0.186019897460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58439874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450431823730469 × 2 - 1) × π
    0.0991363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311446036831505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58439874} λ = 0.58439874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311446036831505))-π/2
    2×atan(1.36539810322786)-π/2
    2×0.938663074225703-π/2
    1.87732614845141-1.57079632675     		φ = 0.30652982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58439874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.483581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30652982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.562865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77727 KachelY 59039 0.58439874 0.30652982 33.483581 17.562865
    Oben rechts KachelX + 1 77728 KachelY 59039 0.58444668 0.30652982 33.486328 17.562865
    Unten links KachelX 77727 KachelY + 1 59040 0.58439874 0.30648412 33.483581 17.560247
    Unten rechts KachelX + 1 77728 KachelY + 1 59040 0.58444668 0.30648412 33.486328 17.560247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30652982-0.30648412) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dl = 291.154699999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30652982-0.30648412) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dr = 291.154699999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58439874-0.58444668) × cos(0.30652982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953386442074345 × 6371000     		do = 291.188759576333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58439874-0.58444668) × cos(0.30648412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95340023114688 × 6371000     		du = 291.192971114016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30652982)-sin(0.30648412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953386442074345-0.95340023114688)×R²
    abs(0.58444668-0.58439874)×1.37890725347978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37890725347978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37890725347978e-05×40589641000000     		ar = 84781.5890571277m²