Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77727 / 58271
↖ ↑ ↗
← N 19.562378°
E 33.483581°		 ← 287.80 m → N 19.562378°
E 33.486328°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.559790°
E 33.483581°		 ← 287.80 m →
82 822 m²		 N 19.559790°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593013763427734 y=0.444576263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593013763427734 × 217)
    floor (0.593013763427734 × 131072)
    floor (77727.5)     		tx = 77727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444576263427734 × 217)
    floor (0.444576263427734 × 131072)
    floor (58271.5)     		ty = 58271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77727 / 58271 ti = "17/77727/58271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77727/58271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77727 ÷ 217
    77727 ÷ 131072     		x = 0.593009948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58271 ÷ 217
    58271 ÷ 131072     		y = 0.444572448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593009948730469 × 2 - 1) × π
    0.186019897460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58439874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444572448730469 × 2 - 1) × π
    0.110855102539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.348261575739708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58439874} λ = 0.58439874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348261575739708))-π/2
    2×atan(1.4166027501932)-π/2
    2×0.956112117945835-π/2
    1.91222423589167-1.57079632675     		φ = 0.34142791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58439874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.483581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34142791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.562378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77727 KachelY 58271 0.58439874 0.34142791 33.483581 19.562378
    Oben rechts KachelX + 1 77728 KachelY 58271 0.58444668 0.34142791 33.486328 19.562378
    Unten links KachelX 77727 KachelY + 1 58272 0.58439874 0.34138274 33.483581 19.559790
    Unten rechts KachelX + 1 77728 KachelY + 1 58272 0.58444668 0.34138274 33.486328 19.559790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34142791-0.34138274) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dl = 287.778069999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34142791-0.34138274) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dr = 287.778069999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58439874-0.58444668) × cos(0.34142791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942277515032634 × 6371000     		do = 287.795807314015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58439874-0.58444668) × cos(0.34138274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942292638474371 × 6371000     		du = 287.800426402399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34142791)-sin(0.34138274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942277515032634-0.942292638474371)×R²
    abs(0.58444668-0.58439874)×1.51234417367085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51234417367085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51234417367085e-05×40589641000000     		ar = 82821.9866331462m²