Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77726 / 84388
↖ ↑ ↗
← S 45.897655°
E 33.480835°		 ← 212.51 m → S 45.897655°
E 33.483581°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
S 45.899566°
E 33.480835°		 ← 212.51 m →
45 166 m²		 S 45.899566°
E 33.483581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593006134033203 y=0.643833160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593006134033203 × 217)
    floor (0.593006134033203 × 131072)
    floor (77726.5)     		tx = 77726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643833160400391 × 217)
    floor (0.643833160400391 × 131072)
    floor (84388.5)     		ty = 84388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77726 / 84388 ti = "17/77726/84388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77726/84388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77726 ÷ 217
    77726 ÷ 131072     		x = 0.593002319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84388 ÷ 217
    84388 ÷ 131072     		y = 0.643829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593002319335938 × 2 - 1) × π
    0.186004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58435081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.28765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903706431637299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58435081} λ = 0.58435081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903706431637299))-π/2
    2×atan(0.405065526296798)-π/2
    2×0.384865568122807-π/2
    0.769731136245615-1.57079632675     		φ = -0.80106519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58435081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.480835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80106519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.897655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77726 KachelY 84388 0.58435081 -0.80106519 33.480835 -45.897655
    Oben rechts KachelX + 1 77727 KachelY 84388 0.58439874 -0.80106519 33.483581 -45.897655
    Unten links KachelX 77726 KachelY + 1 84389 0.58435081 -0.80109855 33.480835 -45.899566
    Unten rechts KachelX + 1 77727 KachelY + 1 84389 0.58439874 -0.80109855 33.483581 -45.899566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80106519--0.80109855) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80106519--0.80109855) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58435081-0.58439874) × cos(-0.80106519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695942193705162 × 6371000     		do = 212.514321032591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58435081-0.58439874) × cos(-0.80109855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695918237575011 × 6371000     		du = 212.507005740058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80106519)-sin(-0.80109855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695942193705162-0.695918237575011)×R²
    abs(0.58439874-0.58435081)×2.39561301509372e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39561301509372e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39561301509372e-05×40589641000000     		ar = 45166.285363545m²