Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77723 / 57905
↖ ↑ ↗
← N 20.506782°
E 33.472595°		 ← 286.01 m → N 20.506782°
E 33.475342°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.504210°
E 33.472595°		 ← 286.02 m →
81 817 m²		 N 20.504210°
E 33.475342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592983245849609 y=0.441783905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592983245849609 × 217)
    floor (0.592983245849609 × 131072)
    floor (77723.5)     		tx = 77723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441783905029297 × 217)
    floor (0.441783905029297 × 131072)
    floor (57905.5)     		ty = 57905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77723 / 57905 ti = "17/77723/57905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77723/57905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77723 ÷ 217
    77723 ÷ 131072     		x = 0.592979431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57905 ÷ 217
    57905 ÷ 131072     		y = 0.441780090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592979431152344 × 2 - 1) × π
    0.185958862304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58420700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441780090332031 × 2 - 1) × π
    0.116439819335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.365806481000648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58420700} λ = 0.58420700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365806481000648))-π/2
    2×atan(1.44167622391743)-π/2
    2×0.964353596510483-π/2
    1.92870719302097-1.57079632675     		φ = 0.35791087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58420700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.472595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35791087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.506782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77723 KachelY 57905 0.58420700 0.35791087 33.472595 20.506782
    Oben rechts KachelX + 1 77724 KachelY 57905 0.58425493 0.35791087 33.475342 20.506782
    Unten links KachelX 77723 KachelY + 1 57906 0.58420700 0.35786597 33.472595 20.504210
    Unten rechts KachelX + 1 77724 KachelY + 1 57906 0.58425493 0.35786597 33.475342 20.504210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35791087-0.35786597) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35791087-0.35786597) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58420700-0.58425493) × cos(0.35791087) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936630727468234 × 6371000     		do = 286.011460299589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58420700-0.58425493) × cos(0.35786597) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936646455813786 × 6371000     		du = 286.016263139116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35791087)-sin(0.35786597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936630727468234-0.936646455813786)×R²
    abs(0.58425493-0.58420700)×1.57283455527457e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.57283455527457e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.57283455527457e-05×40589641000000     		ar = 81816.5246681266m²