Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77723 / 57259
↖ ↑ ↗
← N 22.159427°
E 33.472595°		 ← 282.81 m → N 22.159427°
E 33.475342°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.156883°
E 33.472595°		 ← 282.81 m →
79 999 m²		 N 22.156883°
E 33.475342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592983245849609 y=0.436855316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592983245849609 × 217)
    floor (0.592983245849609 × 131072)
    floor (77723.5)     		tx = 77723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436855316162109 × 217)
    floor (0.436855316162109 × 131072)
    floor (57259.5)     		ty = 57259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77723 / 57259 ti = "17/77723/57259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77723/57259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77723 ÷ 217
    77723 ÷ 131072     		x = 0.592979431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57259 ÷ 217
    57259 ÷ 131072     		y = 0.436851501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592979431152344 × 2 - 1) × π
    0.185958862304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58420700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436851501464844 × 2 - 1) × π
    0.126296997070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.396773718155205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58420700} λ = 0.58420700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396773718155205))-π/2
    2×atan(1.48701940648361)-π/2
    2×0.978775643478241-π/2
    1.95755128695648-1.57079632675     		φ = 0.38675496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58420700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.472595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38675496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.159427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77723 KachelY 57259 0.58420700 0.38675496 33.472595 22.159427
    Oben rechts KachelX + 1 77724 KachelY 57259 0.58425493 0.38675496 33.475342 22.159427
    Unten links KachelX 77723 KachelY + 1 57260 0.58420700 0.38671056 33.472595 22.156883
    Unten rechts KachelX + 1 77724 KachelY + 1 57260 0.58425493 0.38671056 33.475342 22.156883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38675496-0.38671056) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38675496-0.38671056) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58420700-0.58425493) × cos(0.38675496) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.926137914533135 × 6371000     		do = 282.807353641323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58420700-0.58425493) × cos(0.38671056) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.926154660636551 × 6371000     		du = 282.812467265456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38675496)-sin(0.38671056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926137914533135-0.926154660636551)×R²
    abs(0.58425493-0.58420700)×1.67461034166205e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.67461034166205e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.67461034166205e-05×40589641000000     		ar = 79999.1181268242m²