Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77722 / 84702
↖ ↑ ↗
← S 46.494611°
E 33.469849°		 ← 210.26 m → S 46.494611°
E 33.472595°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
S 46.496501°
E 33.469849°		 ← 210.25 m →
44 205 m²		 S 46.496501°
E 33.472595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592975616455078 y=0.646228790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592975616455078 × 217)
    floor (0.592975616455078 × 131072)
    floor (77722.5)     		tx = 77722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646228790283203 × 217)
    floor (0.646228790283203 × 131072)
    floor (84702.5)     		ty = 84702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77722 / 84702 ti = "17/77722/84702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77722/84702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77722 ÷ 217
    77722 ÷ 131072     		x = 0.592971801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84702 ÷ 217
    84702 ÷ 131072     		y = 0.646224975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592971801757812 × 2 - 1) × π
    0.185943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58415906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646224975585938 × 2 - 1) × π
    -0.292449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.918758618117996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58415906} λ = 0.58415906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918758618117996))-π/2
    2×atan(0.399014062593546)-π/2
    2×0.379656142215613-π/2
    0.759312284431227-1.57079632675     		φ = -0.81148404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58415906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.469849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81148404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.494611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77722 KachelY 84702 0.58415906 -0.81148404 33.469849 -46.494611
    Oben rechts KachelX + 1 77723 KachelY 84702 0.58420700 -0.81148404 33.472595 -46.494611
    Unten links KachelX 77722 KachelY + 1 84703 0.58415906 -0.81151704 33.469849 -46.496501
    Unten rechts KachelX + 1 77723 KachelY + 1 84703 0.58420700 -0.81151704 33.472595 -46.496501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81148404--0.81151704) × R
    3.30000000000608e-05 × 6371000     		dl = 210.243000000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81148404--0.81151704) × R
    3.30000000000608e-05 × 6371000     		dr = 210.243000000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58415906-0.58420700) × cos(-0.81148404) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.688422802941219 × 6371000     		do = 210.262044021545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58415906-0.58420700) × cos(-0.81151704) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.688398867348928 × 6371000     		du = 210.254733475557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81148404)-sin(-0.81151704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688422802941219-0.688398867348928)×R²
    abs(0.58420700-0.58415906)×2.3935592291191e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3935592291191e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3935592291191e-05×40589641000000     		ar = 44205.3544297549m²