Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77721 / 57273
↖ ↑ ↗
← N 22.123811°
E 33.467102°		 ← 282.94 m → N 22.123811°
E 33.469849°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 22.121266°
E 33.467102°		 ← 282.94 m →
80 054 m²		 N 22.121266°
E 33.469849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592967987060547 y=0.436962127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592967987060547 × 217)
    floor (0.592967987060547 × 131072)
    floor (77721.5)     		tx = 77721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436962127685547 × 217)
    floor (0.436962127685547 × 131072)
    floor (57273.5)     		ty = 57273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77721 / 57273 ti = "17/77721/57273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77721/57273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77721 ÷ 217
    77721 ÷ 131072     		x = 0.592964172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57273 ÷ 217
    57273 ÷ 131072     		y = 0.436958312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592964172363281 × 2 - 1) × π
    0.185928344726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58411112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436958312988281 × 2 - 1) × π
    0.126083374023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.396102601560524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58411112} λ = 0.58411112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396102601560524))-π/2
    2×atan(1.48602177788331)-π/2
    2×0.978464830899437-π/2
    1.95692966179887-1.57079632675     		φ = 0.38613334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58411112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.467102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38613334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.123811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77721 KachelY 57273 0.58411112 0.38613334 33.467102 22.123811
    Oben rechts KachelX + 1 77722 KachelY 57273 0.58415906 0.38613334 33.469849 22.123811
    Unten links KachelX 77721 KachelY + 1 57274 0.58411112 0.38608893 33.467102 22.121266
    Unten rechts KachelX + 1 77722 KachelY + 1 57274 0.58415906 0.38608893 33.469849 22.121266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38613334-0.38608893) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38613334-0.38608893) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58411112-0.58415906) × cos(0.38613334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926372201354774 × 6371000     		do = 282.937915114025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58411112-0.58415906) × cos(0.38608893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926388925659068 × 6371000     		du = 282.94302314704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38613334)-sin(0.38608893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926372201354774-0.926388925659068)×R²
    abs(0.58415906-0.58411112)×1.67243042933363e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67243042933363e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67243042933363e-05×40589641000000     		ar = 80054.0757105137m²