Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77721 / 57224
↖ ↑ ↗
← N 22.248428°
E 33.467102°		 ← 282.69 m → N 22.248428°
E 33.469849°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
N 22.245887°
E 33.467102°		 ← 282.69 m →
79 893 m²		 N 22.245887°
E 33.469849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592967987060547 y=0.436588287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592967987060547 × 217)
    floor (0.592967987060547 × 131072)
    floor (77721.5)     		tx = 77721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436588287353516 × 217)
    floor (0.436588287353516 × 131072)
    floor (57224.5)     		ty = 57224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77721 / 57224 ti = "17/77721/57224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77721/57224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77721 ÷ 217
    77721 ÷ 131072     		x = 0.592964172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57224 ÷ 217
    57224 ÷ 131072     		y = 0.43658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592964172363281 × 2 - 1) × π
    0.185928344726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58411112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    0.1268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.398451509641907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58411112} λ = 0.58411112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398451509641907))-π/2
    2×atan(1.4895164091235)-π/2
    2×0.979552330535533-π/2
    1.95910466107107-1.57079632675     		φ = 0.38830833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58411112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.467102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38830833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.248428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77721 KachelY 57224 0.58411112 0.38830833 33.467102 22.248428
    Oben rechts KachelX + 1 77722 KachelY 57224 0.58415906 0.38830833 33.469849 22.248428
    Unten links KachelX 77721 KachelY + 1 57225 0.58411112 0.38826397 33.467102 22.245887
    Unten rechts KachelX + 1 77722 KachelY + 1 57225 0.58415906 0.38826397 33.469849 22.245887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38830833-0.38826397) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dl = 282.61755999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38830833-0.38826397) × R
    4.43599999999655e-05 × 6371000     		dr = 282.61755999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58411112-0.58415906) × cos(0.38830833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92555088945904 × 6371000     		do = 282.6870653205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58411112-0.58415906) × cos(0.38826397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925567684274905 × 6371000     		du = 282.692194889564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38830833)-sin(0.38826397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92555088945904-0.925567684274905)×R²
    abs(0.58415906-0.58411112)×1.6794815865806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6794815865806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6794815865806e-05×40589641000000     		ar = 79893.053510588m²