Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7772 / 9446
↖ ↑ ↗
← S 26.549223°
W  9.228515°		 ← 2 185.58 m → S 26.549223°
W  9.206543°		 →
↑
2 185.38 m
↓
↑
2 185.38 m
↓
S 26.568876°
W  9.228515°		 ← 2 185.20 m →
4 775 913 m²		 S 26.568876°
W  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474395751953125 y=0.576568603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474395751953125 × 214)
    floor (0.474395751953125 × 16384)
    floor (7772.5)     		tx = 7772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576568603515625 × 214)
    floor (0.576568603515625 × 16384)
    floor (9446.5)     		ty = 9446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7772 / 9446 ti = "14/7772/9446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7772/9446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7772 ÷ 214
    7772 ÷ 16384     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9446 ÷ 214
    9446 ÷ 16384     		y = 0.5765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.480902976988403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480902976988403))-π/2
    2×atan(0.618224896834536)-π/2
    2×0.553712489490825-π/2
    1.10742497898165-1.57079632675     		φ = -0.46337135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46337135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.549223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7772 KachelY 9446 -0.16106798 -0.46337135 -9.228515 -26.549223
    Oben rechts KachelX + 1 7773 KachelY 9446 -0.16068449 -0.46337135 -9.206543 -26.549223
    Unten links KachelX 7772 KachelY + 1 9447 -0.16106798 -0.46371437 -9.228515 -26.568876
    Unten rechts KachelX + 1 7773 KachelY + 1 9447 -0.16068449 -0.46371437 -9.206543 -26.568876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46337135--0.46371437) × R
    0.000343019999999972 × 6371000     		dl = 2185.38041999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46337135--0.46371437) × R
    0.000343019999999972 × 6371000     		dr = 2185.38041999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.16068449) × cos(-0.46337135) × R
    0.000383489999999986 × 0.894550703648474 × 6371000     		do = 2185.57950955878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.16068449) × cos(-0.46371437) × R
    0.000383489999999986 × 0.894397332580204 × 6371000     		du = 2185.20479109643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46337135)-sin(-0.46371437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894550703648474-0.894397332580204)×R²
    abs(-0.16068449--0.16106798)×0.000153371068269514×R²
    0.000383489999999986×0.000153371068269514×6371000²
    0.000383489999999986×0.000153371068269514×40589641000000     		ar = 4775913.26217614m²