Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7772 / 4268
↖ ↑ ↗
← N 64.960766°
W  9.228515°		 ← 1 034.06 m → N 64.960766°
W  9.206543°		 →
↑
1 034.27 m
↓
↑
1 034.27 m
↓
N 64.951465°
W  9.228515°		 ← 1 034.42 m →
1 069 684 m²		 N 64.951465°
W  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474395751953125 y=0.260528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474395751953125 × 214)
    floor (0.474395751953125 × 16384)
    floor (7772.5)     		tx = 7772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260528564453125 × 214)
    floor (0.260528564453125 × 16384)
    floor (4268.5)     		ty = 4268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7772 / 4268 ti = "14/7772/4268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7772/4268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7772 ÷ 214
    7772 ÷ 16384     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4268 ÷ 214
    4268 ÷ 16384     		y = 0.260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260498046875 × 2 - 1) × π
    0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5048351528728))-π/2
    2×atan(4.50341119469794)-π/2
    2×1.35228779185275-π/2
    2.70457558370549-1.57079632675     		φ = 1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7772 KachelY 4268 -0.16106798 1.13377926 -9.228515 64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 7773 KachelY 4268 -0.16068449 1.13377926 -9.206543 64.960766
    Unten links KachelX 7772 KachelY + 1 4269 -0.16106798 1.13361692 -9.228515 64.951465
    Unten rechts KachelX + 1 7773 KachelY + 1 4269 -0.16068449 1.13361692 -9.206543 64.951465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13377926-1.13361692) × R
    0.00016234000000015 × 6371000     		dl = 1034.26814000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13377926-1.13361692) × R
    0.00016234000000015 × 6371000     		dr = 1034.26814000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.16068449) × cos(1.13377926) × R
    0.000383489999999986 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 1034.06319888999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.16068449) × cos(1.13361692) × R
    0.000383489999999986 × 0.423385837724193 × 6371000     		du = 1034.42254060425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13377926)-sin(1.13361692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.423385837724193)×R²
    abs(-0.16068449--0.16106798)×0.000147077414451302×R²
    0.000383489999999986×0.000147077414451302×6371000²
    0.000383489999999986×0.000147077414451302×40589641000000     		ar = 1069684.4515515m²