Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77719 / 57175
↖ ↑ ↗
← N 22.372936°
E 33.461609°		 ← 282.38 m → N 22.372936°
E 33.464355°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
N 22.370396°
E 33.461609°		 ← 282.38 m →
79 751 m²		 N 22.370396°
E 33.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592952728271484 y=0.436214447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592952728271484 × 217)
    floor (0.592952728271484 × 131072)
    floor (77719.5)     		tx = 77719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436214447021484 × 217)
    floor (0.436214447021484 × 131072)
    floor (57175.5)     		ty = 57175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77719 / 57175 ti = "17/77719/57175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77719/57175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77719 ÷ 217
    77719 ÷ 131072     		x = 0.592948913574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57175 ÷ 217
    57175 ÷ 131072     		y = 0.436210632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592948913574219 × 2 - 1) × π
    0.185897827148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58401525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436210632324219 × 2 - 1) × π
    0.127578735351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.40080041772329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58401525} λ = 0.58401525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40080041772329))-π/2
    2×atan(1.4930192585794)-π/2
    2×0.980638863433639-π/2
    1.96127772686728-1.57079632675     		φ = 0.39048140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58401525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.461609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39048140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.372936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77719 KachelY 57175 0.58401525 0.39048140 33.461609 22.372936
    Oben rechts KachelX + 1 77720 KachelY 57175 0.58406318 0.39048140 33.464355 22.372936
    Unten links KachelX 77719 KachelY + 1 57176 0.58401525 0.39043707 33.461609 22.370396
    Unten rechts KachelX + 1 77720 KachelY + 1 57176 0.58406318 0.39043707 33.464355 22.370396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39048140-0.39043707) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39048140-0.39043707) × R
    4.43299999999813e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58401525-0.58406318) × cos(0.39048140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924725929989375 × 6371000     		do = 282.376187175366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58401525-0.58406318) × cos(0.39043707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924742802569233 × 6371000     		du = 282.381339420603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39048140)-sin(0.39043707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924725929989375-0.924742802569233)×R²
    abs(0.58406318-0.58401525)×1.68725798578295e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68725798578295e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68725798578295e-05×40589641000000     		ar = 79751.2260390697m²