Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77718 / 83606
↖ ↑ ↗
← S 44.382766°
E 33.458862°		 ← 218.28 m → S 44.382766°
E 33.461609°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 44.384729°
E 33.458862°		 ← 218.28 m →
47 644 m²		 S 44.384729°
E 33.461609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592945098876953 y=0.637866973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592945098876953 × 217)
    floor (0.592945098876953 × 131072)
    floor (77718.5)     		tx = 77718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637866973876953 × 217)
    floor (0.637866973876953 × 131072)
    floor (83606.5)     		ty = 83606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77718 / 83606 ti = "17/77718/83606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77718/83606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77718 ÷ 217
    77718 ÷ 131072     		x = 0.592941284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83606 ÷ 217
    83606 ÷ 131072     		y = 0.637863159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592941284179688 × 2 - 1) × π
    0.185882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58396731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637863159179688 × 2 - 1) × π
    -0.275726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866219776134415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58396731} λ = 0.58396731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866219776134415))-π/2
    2×atan(0.42053827709633)-π/2
    2×0.398085466559938-π/2
    0.796170933119876-1.57079632675     		φ = -0.77462539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58396731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.458862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77462539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.382766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77718 KachelY 83606 0.58396731 -0.77462539 33.458862 -44.382766
    Oben rechts KachelX + 1 77719 KachelY 83606 0.58401525 -0.77462539 33.461609 -44.382766
    Unten links KachelX 77718 KachelY + 1 83607 0.58396731 -0.77465965 33.458862 -44.384729
    Unten rechts KachelX + 1 77719 KachelY + 1 83607 0.58401525 -0.77465965 33.461609 -44.384729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77462539--0.77465965) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77462539--0.77465965) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58396731-0.58401525) × cos(-0.77462539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714683104560488 × 6371000     		do = 218.282616075741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58396731-0.58401525) × cos(-0.77465965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714659141038983 × 6371000     		du = 218.275296999452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77462539)-sin(-0.77465965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714683104560488-0.714659141038983)×R²
    abs(0.58401525-0.58396731)×2.39635215051326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39635215051326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39635215051326e-05×40589641000000     		ar = 47643.8482565598m²