Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77718 / 57455
↖ ↑ ↗
← N 21.659981°
E 33.458862°		 ← 283.86 m → N 21.659981°
E 33.461609°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.657428°
E 33.458862°		 ← 283.86 m →
80 568 m²		 N 21.657428°
E 33.461609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592945098876953 y=0.438350677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592945098876953 × 217)
    floor (0.592945098876953 × 131072)
    floor (77718.5)     		tx = 77718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438350677490234 × 217)
    floor (0.438350677490234 × 131072)
    floor (57455.5)     		ty = 57455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77718 / 57455 ti = "17/77718/57455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77718/57455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77718 ÷ 217
    77718 ÷ 131072     		x = 0.592941284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57455 ÷ 217
    57455 ÷ 131072     		y = 0.438346862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592941284179688 × 2 - 1) × π
    0.185882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58396731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438346862792969 × 2 - 1) × π
    0.123306274414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.387378085829674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58396731} λ = 0.58396731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387378085829674))-π/2
    2×atan(1.47311334927931)-π/2
    2×0.974417154420513-π/2
    1.94883430884103-1.57079632675     		φ = 0.37803798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58396731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.458862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37803798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.659981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77718 KachelY 57455 0.58396731 0.37803798 33.458862 21.659981
    Oben rechts KachelX + 1 77719 KachelY 57455 0.58401525 0.37803798 33.461609 21.659981
    Unten links KachelX 77718 KachelY + 1 57456 0.58396731 0.37799343 33.458862 21.657428
    Unten rechts KachelX + 1 77719 KachelY + 1 57456 0.58401525 0.37799343 33.461609 21.657428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37803798-0.37799343) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dl = 283.828049999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37803798-0.37799343) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dr = 283.828049999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58396731-0.58401525) × cos(0.37803798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929390601031869 × 6371000     		do = 283.859812069017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58396731-0.58401525) × cos(0.37799343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92940704341203 × 6371000     		du = 283.864833995145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37803798)-sin(0.37799343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929390601031869-0.92940704341203)×R²
    abs(0.58401525-0.58396731)×1.64423801611857e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64423801611857e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64423801611857e-05×40589641000000     		ar = 80568.0896279804m²