Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77715 / 57293
↖ ↑ ↗
← N 22.072914°
E 33.450623°		 ← 283.04 m → N 22.072914°
E 33.453369°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.070369°
E 33.450623°		 ← 283.05 m →
80 119 m²		 N 22.070369°
E 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592922210693359 y=0.437114715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592922210693359 × 217)
    floor (0.592922210693359 × 131072)
    floor (77715.5)     		tx = 77715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437114715576172 × 217)
    floor (0.437114715576172 × 131072)
    floor (57293.5)     		ty = 57293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77715 / 57293 ti = "17/77715/57293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77715/57293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77715 ÷ 217
    77715 ÷ 131072     		x = 0.592918395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57293 ÷ 217
    57293 ÷ 131072     		y = 0.437110900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592918395996094 × 2 - 1) × π
    0.185836791992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58382350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437110900878906 × 2 - 1) × π
    0.125778198242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.395143863568123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58382350} λ = 0.58382350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395143863568123))-π/2
    2×atan(1.48459775508877)-π/2
    2×0.978020676664187-π/2
    1.95604135332837-1.57079632675     		φ = 0.38524503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58382350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.450623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38524503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.072914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77715 KachelY 57293 0.58382350 0.38524503 33.450623 22.072914
    Oben rechts KachelX + 1 77716 KachelY 57293 0.58387144 0.38524503 33.453369 22.072914
    Unten links KachelX 77715 KachelY + 1 57294 0.58382350 0.38520060 33.450623 22.070369
    Unten rechts KachelX + 1 77716 KachelY + 1 57294 0.58387144 0.38520060 33.453369 22.070369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38524503-0.38520060) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38524503-0.38520060) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58382350-0.58387144) × cos(0.38524503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926706381596478 × 6371000     		do = 283.039982361641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58382350-0.58387144) × cos(0.38520060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926723076863507 × 6371000     		du = 283.045081525928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38524503)-sin(0.38520060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926706381596478-0.926723076863507)×R²
    abs(0.58387144-0.58382350)×1.66952670290765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66952670290765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66952670290765e-05×40589641000000     		ar = 80119.0182452214m²