Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77715 / 57150
↖ ↑ ↗
← N 22.436418°
E 33.450623°		 ← 282.31 m → N 22.436418°
E 33.453369°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 22.433879°
E 33.450623°		 ← 282.31 m →
79 695 m²		 N 22.433879°
E 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592922210693359 y=0.436023712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592922210693359 × 217)
    floor (0.592922210693359 × 131072)
    floor (77715.5)     		tx = 77715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436023712158203 × 217)
    floor (0.436023712158203 × 131072)
    floor (57150.5)     		ty = 57150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77715 / 57150 ti = "17/77715/57150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77715/57150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77715 ÷ 217
    77715 ÷ 131072     		x = 0.592918395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57150 ÷ 217
    57150 ÷ 131072     		y = 0.436019897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592918395996094 × 2 - 1) × π
    0.185836791992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.58382350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436019897460938 × 2 - 1) × π
    0.127960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.401998840213791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58382350} λ = 0.58382350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401998840213791))-π/2
    2×atan(1.49480959901548)-π/2
    2×0.981192843135-π/2
    1.96238568627-1.57079632675     		φ = 0.39158936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58382350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.450623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39158936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.436418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77715 KachelY 57150 0.58382350 0.39158936 33.450623 22.436418
    Oben rechts KachelX + 1 77716 KachelY 57150 0.58387144 0.39158936 33.453369 22.436418
    Unten links KachelX 77715 KachelY + 1 57151 0.58382350 0.39154505 33.450623 22.433879
    Unten rechts KachelX + 1 77716 KachelY + 1 57151 0.58387144 0.39154505 33.453369 22.433879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39158936-0.39154505) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dl = 282.299009999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39158936-0.39154505) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dr = 282.299009999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58382350-0.58387144) × cos(0.39158936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924303635662198 × 6371000     		do = 282.306121906632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58382350-0.58387144) × cos(0.39154505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924320546018481 × 6371000     		du = 282.311286764713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39158936)-sin(0.39154505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924303635662198-0.924320546018481)×R²
    abs(0.58387144-0.58382350)×1.69103562825956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69103562825956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69103562825956e-05×40589641000000     		ar = 79695.4677613796m²