Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77714 / 83554
↖ ↑ ↗
← S 44.280604°
E 33.447876°		 ← 218.66 m → S 44.280604°
E 33.450623°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 44.282571°
E 33.447876°		 ← 218.66 m →
47 810 m²		 S 44.282571°
E 33.450623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592914581298828 y=0.637470245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592914581298828 × 217)
    floor (0.592914581298828 × 131072)
    floor (77714.5)     		tx = 77714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637470245361328 × 217)
    floor (0.637470245361328 × 131072)
    floor (83554.5)     		ty = 83554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77714 / 83554 ti = "17/77714/83554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77714/83554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77714 ÷ 217
    77714 ÷ 131072     		x = 0.592910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83554 ÷ 217
    83554 ÷ 131072     		y = 0.637466430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592910766601562 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637466430664062 × 2 - 1) × π
    -0.274932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.863727057354172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58377556} λ = 0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863727057354172))-π/2
    2×atan(0.421587868381931)-π/2
    2×0.398976995059954-π/2
    0.797953990119908-1.57079632675     		φ = -0.77284234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77284234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.280604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77714 KachelY 83554 0.58377556 -0.77284234 33.447876 -44.280604
    Oben rechts KachelX + 1 77715 KachelY 83554 0.58382350 -0.77284234 33.450623 -44.280604
    Unten links KachelX 77714 KachelY + 1 83555 0.58377556 -0.77287666 33.447876 -44.282571
    Unten rechts KachelX + 1 77715 KachelY + 1 83555 0.58382350 -0.77287666 33.450623 -44.282571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77284234--0.77287666) × R
    3.43200000000321e-05 × 6371000     		dl = 218.652720000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77284234--0.77287666) × R
    3.43200000000321e-05 × 6371000     		dr = 218.652720000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58377556-0.58382350) × cos(-0.77284234) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.715929119279896 × 6371000     		do = 218.663181043973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58377556-0.58382350) × cos(-0.77287666) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.715905157561934 × 6371000     		du = 218.655862518533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77284234)-sin(-0.77287666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715929119279896-0.715905157561934)×R²
    abs(0.58382350-0.58377556)×2.39617179618179e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39617179618179e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39617179618179e-05×40589641000000     		ar = 47810.4991961652m²