Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77714 / 57294
↖ ↑ ↗
← N 22.070369°
E 33.447876°		 ← 283.05 m → N 22.070369°
E 33.450623°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
N 22.067824°
E 33.447876°		 ← 283.05 m →
80 102 m²		 N 22.067824°
E 33.450623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592914581298828 y=0.437122344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592914581298828 × 217)
    floor (0.592914581298828 × 131072)
    floor (77714.5)     		tx = 77714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437122344970703 × 217)
    floor (0.437122344970703 × 131072)
    floor (57294.5)     		ty = 57294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77714 / 57294 ti = "17/77714/57294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77714/57294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77714 ÷ 217
    77714 ÷ 131072     		x = 0.592910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57294 ÷ 217
    57294 ÷ 131072     		y = 0.437118530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592910766601562 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437118530273438 × 2 - 1) × π
    0.125762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.395095926668503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58377556} λ = 0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395095926668503))-π/2
    2×atan(1.48452658978094)-π/2
    2×0.977998464748705-π/2
    1.95599692949741-1.57079632675     		φ = 0.38520060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38520060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.070369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77714 KachelY 57294 0.58377556 0.38520060 33.447876 22.070369
    Oben rechts KachelX + 1 77715 KachelY 57294 0.58382350 0.38520060 33.450623 22.070369
    Unten links KachelX 77714 KachelY + 1 57295 0.58377556 0.38515618 33.447876 22.067824
    Unten rechts KachelX + 1 77715 KachelY + 1 57295 0.58382350 0.38515618 33.450623 22.067824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38520060-0.38515618) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38520060-0.38515618) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58377556-0.58382350) × cos(0.38520060) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926723076863507 × 6371000     		do = 283.045081526583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58377556-0.58382350) × cos(0.38515618) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926739766544123 × 6371000     		du = 283.050178984636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38520060)-sin(0.38515618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926723076863507-0.926739766544123)×R²
    abs(0.58382350-0.58377556)×1.66896806159667e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.66896806159667e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.66896806159667e-05×40589641000000     		ar = 80102.4284269263m²