Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77714 / 57202
↖ ↑ ↗
← N 22.304344°
E 33.447876°		 ← 282.57 m → N 22.304344°
E 33.450623°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 22.301803°
E 33.447876°		 ← 282.58 m →
79 843 m²		 N 22.301803°
E 33.450623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592914581298828 y=0.436420440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592914581298828 × 217)
    floor (0.592914581298828 × 131072)
    floor (77714.5)     		tx = 77714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436420440673828 × 217)
    floor (0.436420440673828 × 131072)
    floor (57202.5)     		ty = 57202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77714 / 57202 ti = "17/77714/57202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77714/57202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77714 ÷ 217
    77714 ÷ 131072     		x = 0.592910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57202 ÷ 217
    57202 ÷ 131072     		y = 0.436416625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592910766601562 × 2 - 1) × π
    0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436416625976562 × 2 - 1) × π
    0.127166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.399506121433548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58377556} λ = 0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399506121433548))-π/2
    2×atan(1.49108809930824)-π/2
    2×0.980040281472081-π/2
    1.96008056294416-1.57079632675     		φ = 0.38928424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38928424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.304344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77714 KachelY 57202 0.58377556 0.38928424 33.447876 22.304344
    Oben rechts KachelX + 1 77715 KachelY 57202 0.58382350 0.38928424 33.450623 22.304344
    Unten links KachelX 77714 KachelY + 1 57203 0.58377556 0.38923989 33.447876 22.301803
    Unten rechts KachelX + 1 77715 KachelY + 1 57203 0.58382350 0.38923989 33.450623 22.301803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38928424-0.38923989) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38928424-0.38923989) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58377556-0.58382350) × cos(0.38928424) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.925180946572917 × 6371000     		do = 282.574075241403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58377556-0.58382350) × cos(0.38923989) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.925197777654653 × 6371000     		du = 282.579215886997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38928424)-sin(0.38923989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925180946572917-0.925197777654653)×R²
    abs(0.58382350-0.58377556)×1.68310817364459e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.68310817364459e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.68310817364459e-05×40589641000000     		ar = 79843.1191373743m²