Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77713 / 84465
↖ ↑ ↗
← S 46.044642°
E 33.445130°		 ← 211.95 m → S 46.044642°
E 33.447876°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
S 46.046548°
E 33.445130°		 ← 211.94 m →
44 925 m²		 S 46.046548°
E 33.447876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592906951904297 y=0.644420623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592906951904297 × 217)
    floor (0.592906951904297 × 131072)
    floor (77713.5)     		tx = 77713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644420623779297 × 217)
    floor (0.644420623779297 × 131072)
    floor (84465.5)     		ty = 84465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77713 / 84465 ti = "17/77713/84465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77713/84465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77713 ÷ 217
    77713 ÷ 131072     		x = 0.592903137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84465 ÷ 217
    84465 ÷ 131072     		y = 0.644416809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592903137207031 × 2 - 1) × π
    0.185806274414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58372763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644416809082031 × 2 - 1) × π
    -0.288833618164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.907397572908043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58372763} λ = 0.58372763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907397572908043))-π/2
    2×atan(0.4035731282358)-π/2
    2×0.383582859781365-π/2
    0.767165719562729-1.57079632675     		φ = -0.80363061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58372763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.445130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80363061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.044642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77713 KachelY 84465 0.58372763 -0.80363061 33.445130 -46.044642
    Oben rechts KachelX + 1 77714 KachelY 84465 0.58377556 -0.80363061 33.447876 -46.044642
    Unten links KachelX 77713 KachelY + 1 84466 0.58372763 -0.80366388 33.445130 -46.046548
    Unten rechts KachelX + 1 77714 KachelY + 1 84466 0.58377556 -0.80366388 33.447876 -46.046548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80363061--0.80366388) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80363061--0.80366388) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58372763-0.58377556) × cos(-0.80363061) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.694097683116522 × 6371000     		do = 211.951077534397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58372763-0.58377556) × cos(-0.80366388) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.694073732297238 × 6371000     		du = 211.9437638636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80363061)-sin(-0.80366388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694097683116522-0.694073732297238)×R²
    abs(0.58377556-0.58372763)×2.39508192837468e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39508192837468e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39508192837468e-05×40589641000000     		ar = 44925.0471688423m²