Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77713 / 57359
↖ ↑ ↗
← N 21.904826°
E 33.445130°		 ← 283.32 m → N 21.904826°
E 33.447876°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
N 21.902278°
E 33.445130°		 ← 283.32 m →
80 287 m²		 N 21.902278°
E 33.447876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592906951904297 y=0.437618255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592906951904297 × 217)
    floor (0.592906951904297 × 131072)
    floor (77713.5)     		tx = 77713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437618255615234 × 217)
    floor (0.437618255615234 × 131072)
    floor (57359.5)     		ty = 57359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77713 / 57359 ti = "17/77713/57359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77713/57359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77713 ÷ 217
    77713 ÷ 131072     		x = 0.592903137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57359 ÷ 217
    57359 ÷ 131072     		y = 0.437614440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592903137207031 × 2 - 1) × π
    0.185806274414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58372763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437614440917969 × 2 - 1) × π
    0.124771118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.391980028193199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58372763} λ = 0.58372763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391980028193199))-π/2
    2×atan(1.47990815466739)-π/2
    2×0.976553833737335-π/2
    1.95310766747467-1.57079632675     		φ = 0.38231134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58372763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.445130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38231134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.904826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77713 KachelY 57359 0.58372763 0.38231134 33.445130 21.904826
    Oben rechts KachelX + 1 77714 KachelY 57359 0.58377556 0.38231134 33.447876 21.904826
    Unten links KachelX 77713 KachelY + 1 57360 0.58372763 0.38226686 33.445130 21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 77714 KachelY + 1 57360 0.58377556 0.38226686 33.447876 21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38231134-0.38226686) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38231134-0.38226686) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58372763-0.58377556) × cos(0.38231134) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.927804832424084 × 6371000     		do = 283.316367072345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58372763-0.58377556) × cos(0.38226686) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 283.321433961313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38231134)-sin(0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927804832424084-0.927821425479114)×R²
    abs(0.58377556-0.58372763)×1.65930550301008e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.65930550301008e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.65930550301008e-05×40589641000000     		ar = 80287.4993450252m²