Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77712 / 84467
↖ ↑ ↗
← S 46.048455°
E 33.442383°		 ← 211.98 m → S 46.048455°
E 33.445130°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
S 46.050361°
E 33.442383°		 ← 211.97 m →
44 931 m²		 S 46.050361°
E 33.445130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592899322509766 y=0.644435882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592899322509766 × 217)
    floor (0.592899322509766 × 131072)
    floor (77712.5)     		tx = 77712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644435882568359 × 217)
    floor (0.644435882568359 × 131072)
    floor (84467.5)     		ty = 84467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77712 / 84467 ti = "17/77712/84467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77712/84467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77712 ÷ 217
    77712 ÷ 131072     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84467 ÷ 217
    84467 ÷ 131072     		y = 0.644432067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644432067871094 × 2 - 1) × π
    -0.288864135742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.907493446707283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907493446707283))-π/2
    2×atan(0.403534438001444)-π/2
    2×0.383549588038515-π/2
    0.767099176077029-1.57079632675     		φ = -0.80369715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80369715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.048455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77712 KachelY 84467 0.58367969 -0.80369715 33.442383 -46.048455
    Oben rechts KachelX + 1 77713 KachelY 84467 0.58372763 -0.80369715 33.445130 -46.048455
    Unten links KachelX 77712 KachelY + 1 84468 0.58367969 -0.80373042 33.442383 -46.050361
    Unten rechts KachelX + 1 77713 KachelY + 1 84468 0.58372763 -0.80373042 33.445130 -46.050361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80369715--0.80373042) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80369715--0.80373042) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58372763) × cos(-0.80369715) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.694049780709689 × 6371000     		do = 211.980667870446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58372763) × cos(-0.80373042) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.694025828353902 × 6371000     		du = 211.973352204455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80369715)-sin(-0.80373042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694049780709689-0.694025828353902)×R²
    abs(0.58372763-0.58367969)×2.39523557877819e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39523557877819e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39523557877819e-05×40589641000000     		ar = 44931.3190187001m²