Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77712 / 59088
↖ ↑ ↗
← N 17.434510°
E 33.442383°		 ← 291.39 m → N 17.434510°
E 33.445130°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.431890°
E 33.442383°		 ← 291.40 m →
84 897 m²		 N 17.431890°
E 33.445130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592899322509766 y=0.450809478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592899322509766 × 217)
    floor (0.592899322509766 × 131072)
    floor (77712.5)     		tx = 77712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450809478759766 × 217)
    floor (0.450809478759766 × 131072)
    floor (59088.5)     		ty = 59088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77712 / 59088 ti = "17/77712/59088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77712/59088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77712 ÷ 217
    77712 ÷ 131072     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59088 ÷ 217
    59088 ÷ 131072     		y = 0.4508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    0.098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.309097128750122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309097128750122))-π/2
    2×atan(1.36219467234411)-π/2
    2×0.937542969692117-π/2
    1.87508593938423-1.57079632675     		φ = 0.30428961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30428961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.434510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77712 KachelY 59088 0.58367969 0.30428961 33.442383 17.434510
    Oben rechts KachelX + 1 77713 KachelY 59088 0.58372763 0.30428961 33.445130 17.434510
    Unten links KachelX 77712 KachelY + 1 59089 0.58367969 0.30424388 33.442383 17.431890
    Unten rechts KachelX + 1 77713 KachelY + 1 59089 0.58372763 0.30424388 33.445130 17.431890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30428961-0.30424388) × R
    4.57299999999661e-05 × 6371000     		dl = 291.345829999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30428961-0.30424388) × R
    4.57299999999661e-05 × 6371000     		dr = 291.345829999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58372763) × cos(0.30428961) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954060037137214 × 6371000     		do = 291.394492847545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58372763) × cos(0.30424388) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954073737556268 × 6371000     		du = 291.398677308173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30428961)-sin(0.30424388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954060037137214-0.954073737556268)×R²
    abs(0.58372763-0.58367969)×1.3700419053686e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.3700419053686e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.3700419053686e-05×40589641000000     		ar = 84897.1799534519m²