Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77712 / 59086
↖ ↑ ↗
← N 17.439751°
E 33.442383°		 ← 291.39 m → N 17.439751°
E 33.445130°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.437131°
E 33.442383°		 ← 291.39 m →
84 895 m²		 N 17.437131°
E 33.445130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592899322509766 y=0.450794219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592899322509766 × 217)
    floor (0.592899322509766 × 131072)
    floor (77712.5)     		tx = 77712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450794219970703 × 217)
    floor (0.450794219970703 × 131072)
    floor (59086.5)     		ty = 59086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77712 / 59086 ti = "17/77712/59086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77712/59086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77712 ÷ 217
    77712 ÷ 131072     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59086 ÷ 217
    59086 ÷ 131072     		y = 0.450790405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450790405273438 × 2 - 1) × π
    0.098419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.309193002549362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309193002549362))-π/2
    2×atan(1.36232527738335)-π/2
    2×0.937588703715384-π/2
    1.87517740743077-1.57079632675     		φ = 0.30438108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30438108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.439751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77712 KachelY 59086 0.58367969 0.30438108 33.442383 17.439751
    Oben rechts KachelX + 1 77713 KachelY 59086 0.58372763 0.30438108 33.445130 17.439751
    Unten links KachelX 77712 KachelY + 1 59087 0.58367969 0.30433535 33.442383 17.437131
    Unten rechts KachelX + 1 77713 KachelY + 1 59087 0.58372763 0.30433535 33.445130 17.437131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30438108-0.30433535) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30438108-0.30433535) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58372763) × cos(0.30438108) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954032627316623 × 6371000     		do = 291.386121182808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58372763) × cos(0.30433535) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.954046331726408 × 6371000     		du = 291.390306862307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30438108)-sin(0.30433535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954032627316623-0.954046331726408)×R²
    abs(0.58372763-0.58367969)×1.37044097847649e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.37044097847649e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.37044097847649e-05×40589641000000     		ar = 84894.7410814803m²