Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77711 / 83605
↖ ↑ ↗
← S 44.380803°
E 33.439636°		 ← 218.29 m → S 44.380803°
E 33.442383°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 44.382766°
E 33.439636°		 ← 218.28 m →
47 645 m²		 S 44.382766°
E 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592891693115234 y=0.637859344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592891693115234 × 217)
    floor (0.592891693115234 × 131072)
    floor (77711.5)     		tx = 77711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637859344482422 × 217)
    floor (0.637859344482422 × 131072)
    floor (83605.5)     		ty = 83605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77711 / 83605 ti = "17/77711/83605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77711/83605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77711 ÷ 217
    77711 ÷ 131072     		x = 0.592887878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83605 ÷ 217
    83605 ÷ 131072     		y = 0.637855529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592887878417969 × 2 - 1) × π
    0.185775756835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58363175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637855529785156 × 2 - 1) × π
    -0.275711059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.866171839234795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58363175} λ = 0.58363175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866171839234795))-π/2
    2×atan(0.4205584368807)-π/2
    2×0.398102596693174-π/2
    0.796205193386349-1.57079632675     		φ = -0.77459113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58363175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.439636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77459113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.380803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77711 KachelY 83605 0.58363175 -0.77459113 33.439636 -44.380803
    Oben rechts KachelX + 1 77712 KachelY 83605 0.58367969 -0.77459113 33.442383 -44.380803
    Unten links KachelX 77711 KachelY + 1 83606 0.58363175 -0.77462539 33.439636 -44.382766
    Unten rechts KachelX + 1 77712 KachelY + 1 83606 0.58367969 -0.77462539 33.442383 -44.382766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77459113--0.77462539) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dl = 218.270459999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77459113--0.77462539) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dr = 218.270459999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58363175-0.58367969) × cos(-0.77459113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714707067243135 × 6371000     		do = 218.289934895821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58363175-0.58367969) × cos(-0.77462539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714683104560488 × 6371000     		du = 218.282616075741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77459113)-sin(-0.77462539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714707067243135-0.714683104560488)×R²
    abs(0.58367969-0.58363175)×2.39626826474826e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39626826474826e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39626826474826e-05×40589641000000     		ar = 47645.445766464m²